Summe von 1 bis 299792458

14.07.2014, 05:33

LAMHOU

Summe von 1 bis 299792458

Meine Frage:
Hallo,

Es geht um eine Summe bei der jeder Term eine natürliche Zahl n enthält, die mit jedem Term ansteigt, bis hinauf zur Größe c (299792458). Zugrunde liegt die Grundmenge N*, also die natürlichen Zahlen ohne die Null.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{c}^n m = \frac{m_{0}}{\sqrt{ 1 - \frac{(c-n)^{2}}{c^{2}}} * c } \end{eqnarray*}$

Das c im Nenner steht da weil durch die Anzahl der Terme geteilt werden muss - es sind c Elemente (299792458).
Das von Hand auszurechnen wäre mühsam. Wie kann man hier die Summe als einzelnen Term bilden?

Vielen Dank im vorraus.

Meine Ideen:
Ich hab bisher lediglich herausgefunden dass
$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{2}*n = n + (n-1) + (n-2) + (n-3) + ... \end{eqnarray*}$
Also zum Beispiel
$\begin{eqnarray*} 30+29+28+27+26+... = \frac{30+1}{2}*30 = 465 \end{eqnarray*}$

14.07.2014, 05:36

Gast11022013

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Du möchtest die Zahlen von 1 bis 299792458 aufsummieren?
Das geht leicht mit der von dir genannten Formel (das ist der "kleine Gauß").

Ich glaube du solltest deine Frage präziser stellen.

14.07.2014, 05:45

LAMHOU

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Es geht um folgende Summe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{c}^n m = \frac{m_{0}}{\sqrt{ 1 - \frac{(c-299792458)^{2}}{c^{2}}} * c } + \frac{m_{0}}{\sqrt{ 1 - \frac{(c-299792457)^{2}}{c^{2}}} * c } + \frac{m_{0}}{\sqrt{ 1 - \frac{(c-299792456)^{2}}{c^{2}}} * c } + \frac{m_{0}}{\sqrt{ 1 - \frac{(c-299792455)^{2}}{c^{2}}} * c } + \frac{m_{0}}{\sqrt{ 1 - \frac{(c-299792454)^{2}}{c^{2}}} * c } + ... \end{eqnarray*}$

m_0 und c sind hier Konstanten.

14.07.2014, 05:50

Gast11022013

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Deine Schreibweise ist sehr kurios.

Was ist denn nun c? c=299792456?

Geht es dir um

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{c} \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{(c-k)^2}{c^2}}\cdot c} \end{eqnarray*}$

Ich denke nicht, dass sich dafür eine geschlossene Form finden lässt.
Warum würdest du diese Summe denn gerne berechnen?
Ist das tatsächlich Schulmathematik? Was wäre denn dein mathematischer Kenntnisstand?

14.07.2014, 09:24

Dopap

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etwas physikalische Deutung und Sinn findet man hier:

http://www.matheboard.de/search.php?searchid=1807174

14.07.2014, 09:46

LAMHOU

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Zitat:

Was ist denn nun c? c=299792456?

c = 299792458

Zitat:

Geht es dir um

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{c} \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{(c-k)^2}{c^2}}\cdot c} \end{eqnarray*}$

Ja, genau.

Zitat:

Ich denke nicht, dass sich dafür eine geschlossene Form finden lässt.

Hm .. schade. Kennt jemand ein Programm, mit dem man das berechnen könnte? Ein Programm ist sich ja nie zu schade so viele Terme hintereinander zu addieren.

Zitat:

Warum würdest du diese Summe denn gerne berechnen?

Ich erhoffe mir die Ladung von Elementarteilchen im Rahmen meiner Theorie vorherzusagen.

Zitat:

Ist das tatsächlich Schulmathematik?

Ist dieses Portal nur für Schulaufgaben gedacht?

14.07.2014, 09:56

klarsoweit

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Zitat:

Original von LAMHOU
Ist dieses Portal nur für Schulaufgaben gedacht?

Das nicht. Aber für das, was über Schulstoff hinausgeht, haben wir den Hochschulbereich. ;

Ich kann den Thread gerne dahin schieben.

14.07.2014, 10:05

LAMHOU

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Ah, das wäre sehr nett. Vielen Dank!

14.07.2014, 12:18

Bernhard1

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Zitat:

Original von LAMHOU
Ich erhoffe mir die Ladung von Elementarteilchen im Rahmen meiner Theorie vorherzusagen.

In deiner Theorie nimmt die Definition eines Meters scheinbar eine besondere Stellung ein^^.

14.07.2014, 12:25

Gast11022013

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Zitat:

Original von LAMHOU
Hm .. schade. Kennt jemand ein Programm, mit dem man das berechnen könnte? Ein Programm ist sich ja nie zu schade so viele Terme hintereinander zu addieren.

Du kannst es ja einmal mit http://www.wolframalpha.com/ versuchen, falls noch nicht geschehen, aber für Wolframalpha könnten zu viele Parameter vorhanden sein.

Ansonsten denke ich nicht, dass ich noch etwas zu deiner Frage beitragen kann.

14.07.2014, 12:38

Bernhard1

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Zitat:

Original von LAMHOU
Kennt jemand ein Programm, mit dem man das berechnen könnte?

Hallo LAMHOU,

an sich kann man das in x Sprachen sehr leicht selbst programmieren, aber mich irritiert, dass der Term unter Wurzel scheinbar eine physikalische Einheit hat. Wenn man so etwas zu einer dimensionslosen Zahl wie 1 addiert kommt physikalischer Unsinn raus.

14.07.2014, 13:02

LAMHOU

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Zitat:

an sich kann man das in x Sprachen sehr leicht selbst programmieren, aber mich irritiert, dass der Term unter Wurzel scheinbar eine physikalische Einheit hat. Wenn man so etwas zu einer dimensionslosen Zahl wie 1 addiert kommt physikalischer Unsinn raus.

Soll das ein Witz sein? Wurzel(1 - v^2/c^2) ist der wichtigste Term in der Relativitätstheorie. Er garantiert dass die Lichtgeschwindigkeit nie überschritten wird. Soviel zu "physikalischem Unsinn" ...

PS: Ich hab es schon von jemand mit dem Computer berechnen lassen .. das Ergebnis ist noch zu klein .. ich hoffe dass bei einer größeren Auflösung, etwa k = 0.1 oder noch kleiner, das Ergebnis langsam größer wird. Nahe der Lichtgeschwindigkeit werden die Terme ja beliebig groß. Die Terme zwischen 0 und 1 fallen also am meisten ins Gewicht. 0 entspricht der Geschwindigkeit c und ist aus der Grundmenge ausgeschlossen (es würde zum Ergebnis unendlich führen weil c - 0 / c ist 1 und 1-1 ist 0, und die Wurzel aus 0 ist auch Null .. durch Null teilen ist dann nicht so gut °_°)

14.07.2014, 13:07

Bernhard1

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RE: Summe von 1 bis 299792458

Zitat:

Original von LAMHOU
$\begin{eqnarray*} \frac{(c-n)^2}{c^2} * c \end{eqnarray*}$

Hallo LAMHOU

Darum geht es mir. Der Bruch ist OK, aber mit c multipliziert "erbt" der Term die physikalische Einheit von c, und die ist ja vermutlich m/s.

14.07.2014, 13:11

Bernhard1

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Zitat:

Original von LAMHOU
ich hoffe dass bei einer größeren Auflösung, etwa k = 0.1 oder noch kleiner, das Ergebnis langsam größer wird.

Dann berechne besser die Summe im Grenzwert als Integral. Du solltest aber so formulieren, dass das Integral nicht divergiert.

PS: Die Multiplikation mit c kommt mir dabei immer noch eigenartig vor.

14.07.2014, 21:02

Unionsjunge

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RE: Summe von 1 bis 299792458
Hallo, in

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{ 1 - \frac{(c-n)^{2}}{c^{2}}} * c } \end{eqnarray*}$
kann man doch zunächst den Radikanden vereinfachen über
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{ c^{2} - (c-n)^{2}}} \end{eqnarray*}$
bis hin zu:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2cn-{n}^{2}}} \end{eqnarray*}$

15.07.2014, 04:57

LAMHOU

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RE: Summe von 1 bis 299792458

Zitat:

Darum geht es mir. Der Bruch ist OK, aber mit c multipliziert "erbt" der Term die physikalische Einheit von c, und die ist ja vermutlich m/s.

Dieses eine c ist einheitslos, weil es sich lediglich um die Anzahl der Terme handelt. Da ich eine Auflösung von k=1 gewählt hab, haben wir von v=0 bis v=c genau c Terme (Wobei aber v nur unendlich nahe an c dran sein darf).

15.07.2014, 05:13

LAMHOU

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Zitat:

Dann berechne besser die Summe im Grenzwert als Integral. Du solltest aber so formulieren, dass das Integral nicht divergiert.

Das ist mir gestern Abend auch in den Sinn gekommen. Denn auch wenn die Terme zwischen 0 und 1, b.z.w. zwischen 299792457 und 299792458, gegen unendlich streben, wird das durch die ganzen anderen winzig kleinen Terme wieder aufgehoben. Die Masse steigt ja erst bei 99.99% Lichtgeschwindigkeit langsam an.

Zitat:

PS: Die Multiplikation mit c kommt mir dabei immer noch eigenartig vor.

Wie gesagt handelt es sich dabei um die Anzahl der Terme. Außerdem handelt es sich nicht um eine Multiplikation, sondern eine Division. Die ganze Gleichung wird einfach durch die Anzahl der Terme dividiert, weil das Ziel ja die Bildung eines Durchschnitts ist.
Es wird bei maximaler Unbestimmtheit des Impulses (Unbestimmtheit ist unbegrenzt nahe an c dran), dass wir eine Überlagerung aller Impulse haben. Der Impuls hat auch Einfluss auf die relativistische Masse. Ziel ist es also die Durchschnittliche relativistische Masse zu berechnen.

15.07.2014, 05:48

LAMHOU

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Also ich brauche etwas in dieser Form:

Summe = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - \frac{(c-k)^{2}}{c^{2}}} n}

Wobei k, also der Abstand zwischen den einzelnen Summanden an Null angenähert werden soll, und n, also die Anzahl der Terme gegen Unendlich streben soll. Es sollte klar sein dass die Anzahl der Terme zwischen 0 und c immer größer wird, wenn der Abstand zwischen den Termen immer kleiner wird.
Es werden dabei immer nur Werte für k betrachtet die zwischen 0 und c liegen (die 0 selbst ist ausgeschlossen).

15.07.2014, 17:50

Bernhard1

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Hallo LAMHOU,

bei den letzten Termen deiner Reihe kann der Ausdruck unter der Wurzel negativ werden. Ist das beabsichtigt? Falls ja wird das Ergebnis im Allgemeinen eine komplexe Zahl sein.

Für eine feinere Unterteilung würde ich ein $\begin{eqnarray*} \Delta v := c /n \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \Delta v := c /(n-1) \end{eqnarray*}$ definieren. Man kann die Geschwindigkeiten dann gemäß

$\begin{eqnarray*} v_i = i * \Delta v \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} i=1 \ldots n \end{eqnarray*}$

hinschreiben.

15.07.2014, 18:25

LAMHOU

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Formales
Der Betrag unter der Wurzel wird nie negativ, da k nicht größer als c werden kann. Kein Teilchen kann die Lichtgeschwindigkeit überschreiten. Die Reihe geht also nur von 0 bis c. Man kann entweder (c-k)^2 schreiben und fuer k Zahlen von 0 bis c ohne die 0 selbst nehmen, oder man schreibt k^2 und nimmt fuer k Zahlen von 0 bis c ohne c selbst.
Würde man für k in (c-k)^2 die 0 erlauben, dann würde der Ausdruck im Nenner Null werden, und wir hätten das Ergebnis unendlich. Würde man für k in k^2 c erlauben, hätte man das gleiche Problem.
Vielleicht bereitet die Formulierung mit k^2 weniger Kopfschmerzen (oder direkt v^2).

Mein Ansatz wäre erstmal nur den Grenzwert für die einzelnen Terme zu finden. Der Grenzwert für die ganze Reihe sollte nicht weit davon entfernt sein.

15.07.2014, 18:52

Bernhard1

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RE: Formales
OK. Ich sehe gerade, dass außerhalb der Wurzel mit c multipliziert wird. Ein paar Klammern wären da ganz hilfreich gewesen.

15.07.2014, 19:14

Bernhard1

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Du meinst also die folgende Summe:

$\begin{eqnarray*} m = \frac{m_0}{n}\sum_{k=1}^{n-1}\left(\sqrt{1-\frac{(c-v_k)^2}{c^2}}\right)^{-1} \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} v_k = k \cdot \frac{c}{n} \end{eqnarray*}$

Falls ja, ließe sich das zu

$\begin{eqnarray*} m = \frac{m_0}{n}\sum_{k=1}^{n-1}\left(\sqrt{\frac{k}{n}(2-\frac{k}{n})}\right)^{-1} \end{eqnarray*}$

umschreiben.

Physik und Mathematik wären dann bei dieser Aufgabe sauber getrennt.

EDIT:

Durch umsortieren der Summanden erhält man:

$\begin{eqnarray*} m = \frac{m_0}{n}\sum_{k=1}^{n-1}\left(\sqrt{1-\frac{v_k^2}{c^2}}\right)^{-1} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} m = \frac{m_0}{n}\sum_{k=1}^{n-1}\left(\sqrt{1-\frac{k^2}{n^2}}\right)^{-1} \end{eqnarray*}$

Im Limes $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ wird das zu

$\begin{eqnarray*} m = m_0 \int_0^1 \left(\sqrt{1-\beta^2}\right)^{-1} d\beta = m_0 \cdot \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

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