Winkelgeschwindigkeit

14.07.2014, 11:17	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Winkelgeschwindigkeit Meine Frage: Einführung: Die Bewegung eines Punktes beschreibt man mit dem Ortsvektor $\begin{eqnarray} \vec x(t) \end{eqnarray}$ und der Geschwindigkeit $\begin{eqnarray} \dot {\vec x}(t) \end{eqnarray}$ . Dabei ist bekanntlich die Bogenlänge ein Maß für den zurückgelegten Weg $\begin{eqnarray} s=\int_{t=0}^t \sqrt{\dot {\vec x}^2(t)}\,\,dt \end{eqnarray}$ Eine 3-dimensionale, zeitabhängige Drehung beschreibt man dagegen mit Hilfe eines "Winkelvektors" $\begin{eqnarray} \vec \phi=(\phi_1\|\phi_2\|\phi_3) \end{eqnarray}$ und dessen zeitlicher Änderung $\begin{eqnarray} \dot {\vec \phi}=(\dot \phi_1\|\dot \phi_2\| \dot \phi_3) \end{eqnarray}$ Letzterer Vektor darf übrigens nicht mit der Winkelgeschwindigkeit $\begin{eqnarray} \vec \omega \end{eqnarray}$ verwechselt werden, welche dadurch definiert ist, dass sie für alle gedrehten Punkte die Eigenschaft $\begin{eqnarray} \dot{\vec x}=\omega \times \vec x \end{eqnarray}$ besitzt. Im Allgemeinen ist nämlich $\begin{eqnarray} \dot{\phi} \neq \omega \end{eqnarray}$ . Frage: Kann man bei der 3-dimensionalen Drehung eine Größe definieren, welche analog zur Bogenlänge ist? Diese Größe soll also ein Maß für den zurückgelegten "Drehweg" sein, der proportional zum Verschleiß in den 3 Lagern einer kardanischen Aufhängung wäre (genauer: zur Summe des Verschleißes in den 3 Lagern). Dieser "Drehweg" müsste natürlich wie die Bogenlänge invariant gegen Koordinatentransformationen sein. Deshalb kommt folgende Größe nicht in Frage, die rein formal wie die obige Bogenlänge gebildet wird: $\begin{eqnarray} s=\int_{t=0}^t \sqrt{\dot {\vec \phi}^2(t)}\,\,dt \end{eqnarray}$ Die Nichttauglichkeit dieser Größe hängt damit zusammen, dass sie nicht invariant gegen Koordinatentransforamtionen ist, denn zur Beschreibung einer Drehung kann man unendlich viele verschiedene Arten von Winkeln wählen (z.B. die Eulerschen Winkel oder die Winkel der gedrehten Koordinatenachsen relativ zu den festen Koordinatenachsen u.v.a.) Meine Ideen: leider noch keine

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