Disjunktive Normalform zu konjunktiver Normalform?

15.07.2014, 07:56

Mike1991

Disjunktive Normalform zu konjunktiver Normalform?

Meine Frage:
Hey
Ich übe zur Zeit für eine Klausur und hänge grad beim Thema KNF. Ich habe zwar die Lösung der Aufgabe, verstehe aber die einzelnen Schritte nicht.

$\begin{eqnarray*} (A\wedge B\wedge \neg C)\vee (A\wedge \neg B) \vee \neg A \vee C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (A\wedge B\wedge \neg C)\vee ((A\vee \neg A \vee C)\wedge (\neg B\vee \neg A \vee C)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (A\wedge B\wedge \neg C) \vee ((A\vee \neg A)\wedge (\neg B \vee \neg A \vee C)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (A\wedge B\wedge \neg C) \vee ( \neg B \vee \neg A \vee C) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (A \vee \neg B\vee \neg A \vee C) \wedge (B\vee \neg B \vee \neg A \vee C) \wedge (\neg C \vee \neg B \vee \neg A \vee C) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (A\vee \neg A) \wedge (B \vee \neg B) \wedge (\neg C \vee C) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A \vee \neg A \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
- Warum fällt in der zweiten Zeile das C in Mitte einfach weg? Weil dies auch am Ende vorhanden ist?
- Ebenso verstehe ich die drei letzten Zeilen nicht. Wie wird da gekürzt?
Würde mich echt über Hilfe freuen
Vielen Dank im Voraus

16.07.2014, 00:35

RavenOnJ

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RE: Disjunktive Normalform zu konjunktiver Normalform?

Zitat:

Original von Mike1991
- Warum fällt in der zweiten Zeile das C in Mitte einfach weg? Weil dies auch am Ende vorhanden ist?

Weil $\begin{eqnarray*} A\lor \neg A\lor C = (A\lor \neg A)\lor C = true\lor C= true \end{eqnarray*}$

Zitat:

- Ebenso verstehe ich die drei letzten Zeilen nicht. Wie wird da gekürzt?

Man kann das geschickter umformen:
$\begin{align*} (A\land B\land \neg C) \lor( \neg A \lor \neg B \lor C) &= \neg(\neg (A\land B)\lor C)\lor (\neg(A\land B)\lor C)\\ &=\neg S \lor S\\ &=true \end{align*}$

mit $\begin{eqnarray*} S:=\neg(A\land B)\lor C \end{eqnarray*}$

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