Zwischenwertsatz und Rolle |
| 15.07.2014, 09:32 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Zwischenwertsatz und Rolle Ich soll zeigen, dass genau eine Nullstelle im Intervall [0,1] hat. Ich weiß, dass ich das über den Zwischenwertsatz beweisen kann. Dazu aber erstmal muss ich stetigkeit beweisen oder? Ich weiß, dass cos funktion stetig. Aber es sollte auch mit diesem Satz hier gehen: "Ist f an der Stelle x differenzierbar, so ist f auch an dieser Stelle stetig." und sie ist an der stelle 0 und 1 diffbar, also auch f. Aber wie genau beweis ich das jetzt mit der Nullstelle? f(0) > 0 und f(1) ist kleiner gleich 0. Kann ich damit schon sagen, dass ein x0 existiert in ]a,b[ ? Und dann müsste ich ja noch zeigen, dass diese Nullstelle eindeutig ist, eventuell mit dem Satz von Rolle. |
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| 15.07.2014, 09:56 | bijektion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das sollte doch schon reichen.
Dann berechne erstmal 
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| 15.07.2014, 10:04 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gut, f'(x) = -2x-Pi*sin(Pi*x) Muss ich das jetzt 0 setzen? |
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| 15.07.2014, 10:23 | bijektion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja. |
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| 15.07.2014, 10:44 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Zwischenwertsatz und Rolle
Ähh, ich weiß nicht so recht, was mit diesem Satz gesagt werden soll. 
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| 15.07.2014, 10:46 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Muss ich das denn jetzt ausrechnen oder wie genau muss ich das machen? nach x umstellen? x = (-Pi*sin(Pi*x))/2 Eigentlich reicht das doch schon zu sagen, dass es nach Satz von Rolle, für f(a) = f(b) eine Nullstelle im Intervall gibt oder nicht? |
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| 15.07.2014, 10:54 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mir scheint, daß du noch nicht so recht einen Plan hast, was du zeigen willst und wie du vorhandene Sätze wie den Satz von Rolle dazu verwenden möchtest. Bevor du da mit Formeln hantierst, wäre es gut, wenn du deine Beweisidee mal verbal beschreibst. |
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| 15.07.2014, 11:13 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Meine Beweisidee liegt darin, die Stetigkeit von der Funktion zu zeigen über den Zwischenwertsatz, also Existenz. Dann möchte ich die Eindeutigkeit der Nullstelle zeigen mit dem Satz von Rolle. Nur ich weiß nicht wie ich diese Sätze anwende, das hast du korrekt gesagt, deshalb bearbeite ich ja diese Aufgaben um zu wissen, wie ich damit umgehe. |
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| 15.07.2014, 11:22 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also der Nachweis der Existenz der Nullstelle ist ja schon erledigt.
Dazu benötigen wir jetzt eine Beweisidee. Also wir wissen, daß es eine Stelle a im Intervall [0,1] gibt mit f(a)=0. Angenommen es gäbe eine weitere Stelle b (b ungleich a) mit f(b)=0, was folgt dann aus dem Satz von Rolle? |
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| 15.07.2014, 12:00 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann gibt es ein c in dem Intervall, sodass f'(c) = 0... |
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| 15.07.2014, 12:10 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
OK. Jetzt ist die Frage, ob f' eine Nullstelle in (0, 1) haben kann. Dazu muß man sich ja nur das Vorzeichen der beiden Summanden von f' auf dem Intervall (0, 1) ansehen. |
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| 15.07.2014, 12:15 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kannst du mir dann noch kurz sagen, was das mit dem Vorzeichen auf sich hat? |
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| 15.07.2014, 12:50 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Leider hast du es noch nicht verstanden. Es geht nicht um f'(0) oder um f'(1). Es geht um die Frage, ob f'(x) irgendwo auf dem Intervall (0, 1) eine Nullstelle hat oder nicht. Diese Frage läßt sich relativ leicht beantworten, wenn man sich mal etwas genauer ansieht. Der 1. Summand -2x ist auf (0, 1) immer negativ. Wie sieht es nun mit dem 2. Summanden aus? |
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| 15.07.2014, 13:01 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der wird immer 0, also wird das ganze immer negativ sein, also < 0. |
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| 15.07.2014, 13:20 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ähh, wieso dieses? |
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| 15.07.2014, 13:22 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hm, dann war das mein Fehler, ich hab nur 0 und 1 untersucht... 
Na gut, also wirds immer negativ, also wird der gesammte Ausdruck auch negativ, nichts desto trotz. Was bedeutet denn dies nun? Dass wir ein lokales extrema vorliegen haben? |
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| 15.07.2014, 13:27 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jetzt gehen wir nochmal zurück zum Satz von Rolle: was müßte laut diesem Satz existieren, wenn f(x) eine weitere Nullstelle b hätte? |
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| 15.07.2014, 13:29 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
eine Stelle c, wo gilt f'(c) = 0, diese existiert aber nicht, weil der Ausdruck immer negativ bleibt in diesem Intervall, also ist die gefundene Stelle a die einzig existierende. 
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| 15.07.2014, 13:42 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hurra! 
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