Grenzwertberechnung

15.07.2014, 15:57	Schattenklinge	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwertberechnung Hi, ich bins wieder Ich soll den Grenzwert davon ausrechnen, mit L'Hopital, kein Ding => 1/2 aber ich soll ihn unter Verwendung der Reihendarstellung der Exponentialfunktion ausrechnen. Habe aber kein Plan... Habe schon einiges versucht, führte aber alles nicht zum Ziel, d.h. es muss irgendein Trick geben! $\begin{eqnarray} }\frac{(e^x-1-x)}{x^2} \end{eqnarray}$ Mir ist bewusst, dass die Exponentialfunktion als Reihe dargestellt werden kann mit: $\begin{eqnarray} e^x <=> \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray}$ Ich sehe auch ein, dass die beiden ersten Summanden der Reihe 1+x sind und sich dass dann aufhebt mit -1-x, also steht da: $\begin{eqnarray} \frac{\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{x^n}{n!}}{x^2} \end{eqnarray}$ Wie geht es nun weiter? Wie komme ich auf die 1/2?
15.07.2014, 15:59	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreibe dir die verbliebene Summe doch einmal etwas aus.
15.07.2014, 16:00	Schattenklinge	Auf diesen Beitrag antworten »
Die eckigen Latex-Klammern vergessen $\begin{eqnarray} \frac{(e^x-1-x)}{x^2} \end{eqnarray}$
15.07.2014, 16:08	Schattenklinge	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}}{x^2} \end{eqnarray}$ Hmm... und nun? Wenn ich x -> 0 laufen lassen, habe ich jetzt keinen Vorteil... Moment, ich kann es nun so darstellen: $\begin{eqnarray} \frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!} \frac{1}{x^2} \end{eqnarray}$ Dann habe ich: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}+\frac{x}{3!}+...+\frac{x^n}{n!x^2} \end{eqnarray}$ Ich sehe da schon die 1/2, aber wie komme ich an die heran?^^
15.07.2014, 16:15	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Punkt ist ja, dass sich in diesen Summanden immer das $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ kürzen lässt und in allen anderen Summanden mindestens ein $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ im Zähler stehen bleibt. Wenn dies gegen Null läuft, verschwindet diese Summanden. Ich würde dies nun mit einer Restgliedabschätzung aufschreiben. Ist dir sowas bekannt.
15.07.2014, 16:24	Schattenklinge	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, leider nicht... Aber ich sehe dein Argument ein! Habs noch ein bissl eleganter hinbekommen: \frac{1}{2}+\frac{x}{3!}+...+\frac{x^(n-2)}{n!} limes davon ist dann 1/2, sehe ich ein!
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15.07.2014, 16:26	Schattenklinge	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{1}{2}+\frac{x}{3!}+...+\frac{x^n}{n!x^2} \end{eqnarray*}$ Vergesse andauernd dieses blödes -latex-
15.07.2014, 16:27	Schattenklinge	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid für mein TriplePost... $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}+\frac{x}{3!}+...+\frac{x^(n-2)}{n!} \end{eqnarray}$

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