Beweis der Inversionsformel von charakteristischen Funktionen

15.07.2014, 19:28	Ben20	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der Inversionsformel von charakteristischen Funktionen Meine Frage: Hallo, in einem Buch bin ich auf den Beweis (Bild im Anhang) der Inversionsformel gestoßen und hätte nun eine Frage dazu. Ich verstehe die Gleichheit der beiden Therme aus Gleichung (2.76) nicht $\begin{eqnarray} \left\|\frac{e^{-ita}-e^{-itb}}{it}e^{itx}\right\| \quad=\quad \left\|\int\limits_{-a}^{+b}e^{itz}dz\right\|\quad\leq\quad b-a \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe leider keine Ahnung, wie das Gleichheitszeichen zu erklären ist. Mit der Ungleichung habe ich auch Probleme. Ich bin soweit gekommen $\begin{eqnarray} \left\|\int\limits_{-a}^{+b}e^{itz}dz\right\|\quad\leq\quad\int\limits_{-a}^{+b}\left\|e^{itz}\right\|dz \quad=\quad \int\limits_{-a}^{+b}1 dz\quad=\quad b+a \end{eqnarray}$ Weshalb aber heißt es in der Gleichung (2.76) $\begin{eqnarray} \quad\leq\quad b-a \end{eqnarray}$ ? Ich hoffe mir kann jemand helfen...
15.07.2014, 20:52	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Inversionsformel von charakteristischen Funktionen hallo, da kann ich dir weiterhelfen: zu deiner ersten frage: man zieht das 1/i aus dem bruch heraus, erweitert das dann mit i, erhält dann -1, und durch den betrag wird daraus 1, das heisst das i "verschwindet " einfach aus dem nenner. Der rest ist einfache integralrechnung. Und wenn du als integrationsgrenzen a und b hättest, wäre das ergebnis wirklich b-a. Weil du unten jedoch -a stehen hast, ist das ergebnis folglich b-(-a), also b+a. Das ist schon allles. gruss ollie3
15.07.2014, 21:57	Ben20	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Inversionsformel von charakteristischen Funktionen Hallo, danke erstmal für die Antwort. Also ich habe nun $\begin{eqnarray} \left\|\frac{e^{-ita}-e^{-itb}}{it}e^{itx}\right\| \quad=\quad\left\|\frac{1}{i}\right\|\cdot\left\|\frac{e^{itx}(e^{-ita}-e^{-itb})}{t}\right\|\quad=\quad\left\|\frac{i\cdot e^{itx}(e^{-ita}-e^{-itb})}{t}\right\|\quad=\quad\left\|\int\limits_{-a}^{+b}e^{itz}dz\right\| \end{eqnarray}$ . Ist das dann okay so? Oder kann man das Integral nicht einfach so gleichsetzen? Zur zweiten Frage: Ich Buch steht ja, dass $\begin{eqnarray} \left\|\int\limits_{-a}^{+b}e^{itz}dz\right\|\quad\leq\quad b-a \end{eqnarray}$ ist. dann wäre das ja nach meiner Rechnung falsch...
16.07.2014, 11:21	Ben20	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab die Ungleichung jetzt so erweitert $\begin{eqnarray} \left\|\frac{e^{-ita}-e^{-itb}}{it}e^{itx}\right\| \quad=\quad\left\|\frac{e^{it(x-a)}-e^{it(x-b)}}{it}\right\|\quad=\quad\left\|\frac{e^{it(b-a)}-1}{it}\right\|\quad=\quad\left\|\int\limits_{a}^{b}e^{-itz}dz\right\|\quad\leq\quad\quad\quad \int\limits_{a}^{b}\left\|e^{-itz}\right\|dz\quad=\quad b-a \end{eqnarray}$ Darf ich das so machen? LG

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »