Matrizenring nxn-Matrizen über K ist einfach, wenn K Schiefkörper ist.

15.07.2014, 20:24	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrizenring nxn-Matrizen über K ist einfach, wenn K Schiefkörper ist. Moin, ich habe das gefühl, dass es bei meiner Aufgabe auf eine "geschickte" Wahl der Variablen ankommt, leider komme ich nicht drauf. Aufgabe: Sei K ein Schiefkörper und $\begin{eqnarray} 1 \leq n \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ Zeige: Der Matrizenring $\begin{eqnarray} M_n(K) \end{eqnarray}$ der nxn-Matrizen über K ist einfach. Hinweis: Zeige, dass ein Ideal immer die Elementarmatrizen $\begin{eqnarray} E_{i,j} \end{eqnarray}$ enthält, welche an der Stelle ij den Eintrag 1 und sonst überall den Eintrag 0 haben. Lösung: Zuerst einmal ist K ein Schiefkörper also $\begin{eqnarray} (K\backslash \{0\},) \end{eqnarray}$ ist eine Gruppe. Der Hinweis ist auch klar. Wenn ich all diese Elementarmatrizen habe, kann ich durch Addition der Matrizen jede andere Matrix aus dem Ring darstellen. Da das Ideal bzgl. "+" abgeschlossen ist, müssen also dann direkt alle Matrizen im Ideal liegen. Meine Idee war jetzt, mir eine beliebige nxn-Matrix herzunehmen und diese geschickt mit anderen Matrizen zu multiplizieren, um so in die Nähe meiner Elementarmatrizen zu gelangen. Ich habe es mal mit 2x2 Matrizen versucht, um eventuell ein Schema zu erkennen, welches ich dann verallgemeinern kann. Sei also $\begin{eqnarray} M = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ eine Matrix aus einem beliebigen Ideal (außer dem leeren) und $\begin{eqnarray} L = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ eine Matrix aus dem Matrizenring. $\begin{eqnarray} LM = \begin{pmatrix} ax_1+by_1 & ax_2+by_2 \\cx_1+dy_1 & cx_2+dy_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da K ein Schiefkörper ist, gibt es zu jedem Element ein inverses Element bzgl. der Multiplikation. Ich kann also a,b,c,d so wählen, dass ich Matrizen erhalte von der Form: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} * & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & * \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ * & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zu jedem der "" in den Matrizen gibt es ja im Körper K auch wieder ein Inverses. Damit folgt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & \\ 0 & 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & ^{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ liegt im Ideal. So bekomme ich im Fall der 2x2 Matrizen alle meine Elementarmatrizen. Mir ist auch irgendwie klar, dass ich da über kurz oder lang bei allen nxn Matrizen hinkomme. Ich weiß nur nicht, wie ich so etwas in einer Klausur vernünftig aufschreiben sollte. Hat da jemand einen Vorschlag? Gruß Martin
16.07.2014, 11:40	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizenring nxn-Matrizen über K ist einfach, wenn K Schiefkörper ist. In dem Ideal $\begin{align} I \end{align}$ existiert immer eine Matrix, die an der Stelle ij ungleich 0 ist. Diese Matrix sei $\begin{align} A \end{align}$ . Multiplizieren von rechts mit der Matrix $\begin{align} E_{jj}\in M_n(K) \end{align}$ ergibt die Matrix $\begin{align} B := AE_{jj} = \sum\limits_{k=1}^n a_{kj}E_{kj}\in I \end{align}$ , also die Matrix, die überall Nullen hat außer in der j-ten Spalte. Multiplizieren von $\begin{align} B \end{align}$ von links mit $\begin{align} a_{ij}^{-1}E_{ii} \end{align}$ ergibt die Matrix $\begin{align} a_{ij}^{-1}E_{ii}B= a_{ij}^{-1}E_{ii} \sum\limits_{k=1}^n a_{kj}E_{kj}=E_{ij}\in I \end{align}$ . Da demnach jede Elementarmatrix in $\begin{align} I \end{align}$ enthalten ist, ist auch die Einheitsmatrix $\begin{align} E = \sum\limits_{k=1}^n E_{kk} \end{align}$ in $\begin{align} I \end{align}$ , also auch der ganze Ring $\begin{align} M_n(K) \end{align}$ . Damit hat $\begin{align} M_n(K) \end{align}$ keine nicht-trivialen Ideale, ist also einfach.
16.07.2014, 14:17	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, auf diesem Weg haut es immer hin. Eigentlich ist der Weg zur Elementarmatrix auch nicht deutlich anders als meine Lösung, es ist halt nur schön verallgemeinert. So wird das wohl akzeptiert werden. Die Aussage, dass in jedem Ideal I (außer dem leeren Ideal) immer eine Matrix existiert, die an der Stelle ij ungleich 0 ist, habe ich mir auch noch klar gemacht. Man sieht zwar ziemlich schnell, warum das so ist aber es kann ja nicht schaden, sich da noch einmal Gedanken drüber gemacht zu haben. Damit kann ich diese Aufgabe dann auch abhaken Danke sehr.

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