Integral lösen

16.07.2014, 08:33

steviehawk

Integral lösen

Meine Frage:
Hallo Leute, kann mir bitte einer erklären, wie Wolfram Alpha bei dem Integral

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^0 xe^{-\frac{x}{a}} dx \end{eqnarray*}$ auf den Wert $\begin{eqnarray*} -a^2 \end{eqnarray*}$ kommt?

wenn ich das von Hand rechne ist das Integral divergent unglücklich

Meine Ideen:
Danke für die Hilfe

16.07.2014, 08:42

riwe

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RE: Integral lösen
wenn´s ich von Hand rechne, kommt $\begin{eqnarray*} -a^2 \end{eqnarray*}$ raus-
substituiere $\begin{eqnarray*} x = a\cdot u \end{eqnarray*}$ und integriere partiell Augenzwinkern

16.07.2014, 10:03

steviehawk

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RE: Integral lösen
die Substitution ändert bei mir leider nichts. Kannst du mir mal ein paar Schritte zeigen?

Danke Wink

16.07.2014, 10:21

klarsoweit

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RE: Integral lösen

Zitat:

Original von steviehawk
Meine Frage:
wenn ich das von Hand rechne ist das Integral divergent unglücklich

Nun ja, das kommt auf das Vorzeichen von dem Parameter a an.

Zitat:

Original von steviehawk
die Substitution ändert bei mir leider nichts. Kannst du mir mal ein paar Schritte zeigen?

Wir machen das mal umgekehrt: zeige mal deine Rechnung. smile

16.07.2014, 10:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von steviehawk
wenn ich das von Hand rechne ist das Integral divergent unglücklich

Stimmt - im Fall $\begin{align*} a>0 \end{align*}$ .

Im Fall $\begin{align*} a<0 \end{align*}$ ist das Wolfram-Alpha-Ergebnis richtig.

16.07.2014, 10:40

steviehawk

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leider steht in der Aufgabe a>0 dann bin ich mal gespannt, wie der Assistent den Momentenschätzer bestimmt smile

deshalb wollte ich nämlich das Integral lösen..

Es ging um $\begin{eqnarray*} X_1,..,X_n \ iid \end{eqnarray*}$ mit der Dichte:

$\begin{eqnarray*} (a+b)^{-1}exp(\frac{-x}{b}) \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} x \leq 0 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} (a+n)^{-1}exp(\frac{-x}{a}) \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ ist.

wobei $\begin{eqnarray*} a,b > 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Bestimmen Sie Momentenschätzer für $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$

kann es sein, dass diese nicht existieren?

16.07.2014, 11:17

HAL 9000

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Wenn ich mir insbesondere den Normierungsfaktor $\begin{align*} (a+b)^{-1} \end{align*}$ so anschaue, dann war wohl sicher die Dichte

$\begin{align*} f(x) = \begin{cases} (a+b)^{-1}\exp\left( \frac{x}{b} \right) & \;\mbox{falls}\;x\leq 0 \\[2ex] (a+b)^{-1}\exp\left( -\frac{x}{a} \right) & \;\mbox{falls}\;x\geq0 \end{cases} \end{align*}$

gemeint.

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