Eigenwerte idempotente Matrix

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Eigenwert Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte idempotente Matrix
Hallo, ich habe die Aufgabe:
a) Man bestimme alle Zahlen, die Eigenwerte einer idempotenten Matrix sein können und gebe jeweils eine Beispielmatrix an.

Ich dachte mir dazu das nur die Nullmatrix und die Matrix mit nur einsen als idempotente Matrix sein kann.

Die Nullmatrix besitzt demnach die Eigenwerte also

Bei der zweiten idempotenten Matrix mit nur einsen bin ich mir nicht ganz sicher. Ich habe dazu folgendes getan:



also gilt es die Eigenwerte zu bestimmen:



Jetzt habe ich angefangen von der letzten Zeile die vorletzte abzuziehen usw.. Dann bin ich auf:



Jetzt dachte ich mir ich kann ja irgendwie das \lambda heraus ziehen. Ich weiß allerdings nicht wie ich die erste Zeile behandeln soll da ja dort steht.

Danke! smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte idempotente Matrix
Zitat:
Original von Eigenwert
Bei der zweiten idempotenten Matrix mit nur einsen bin ich mir nicht ganz sicher. Ich habe dazu folgendes getan:



Diese Matrix hat den Eigenwert n mit Eigenvektor , wie man leicht nachrechnet. Augenzwinkern
Determinante Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte idempotente Matrix
Ja, dass dachte ich mir schon da die beiden Eigenwerte 0 und 1 sein müssen. Wie kann ich das aber zeigen?
Du scheinst da ja etwas anders an die Aufgabe heran zu gehen als mein erster Gedanke war. smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte idempotente Matrix
Ich wollte mit meinem Beitrag eigentlich nur sagen, daß deine 1er-Matrix nicht den Eigenwert 1 hat und somit nicht als idempotente Matrix in Frage kommt.
Determinante Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte idempotente Matrix
Da habe ich wohl falsch gelsen. Hast du denn eine Idee wie ich sonst die Aufgabe lösen kann? smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte idempotente Matrix
Zitat:
Original von Determinante
Ja, dass dachte ich mir schon da die beiden Eigenwerte 0 und 1 sein müssen. Wie kann ich das aber zeigen?

Nun ja, es muß ja wohl A * (Ax) = Ax für alle x gelten. Wenn jetzt x ein Eigenwert zum Eigenwert lambda ist, was steht denn dann da?
 
 
Determinante Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte idempotente Matrix
Meinst du eventuell ich kann es ausgehend von der Gleichung zeigen?

Mit gilt dann doch:







da nur eine Zahl ist kann ich vertauschen









Und nun nach und auflösen? dann sind es genau die Eigenwerte und
So in etwa?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte idempotente Matrix
Genau. Freude
Determinante Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte idempotente Matrix
Und als Beispiel kann ich einfach die Nullmatrix nehmen? smile

Noch eine Frage, ich soll auch zeigen das jede idempotente Matrix diagonalisierbar ist. Kann ich damit argumentieren da und paarweise verschieden sind ist diagonalisierbar?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte idempotente Matrix
Zitat:
Original von Determinante
Und als Beispiel kann ich einfach die Nullmatrix nehmen? smile

OK. Dann noch ein Beispiel für den Eigenwert 1.

Zitat:
Original von Determinante
Noch eine Frage, ich soll auch zeigen das jede idempotente Matrix diagonalisierbar ist. Kann ich damit argumentieren da und paarweise verschieden sind ist diagonalisierbar?

Das Argument ist für mich irgendwie nicht schlüssig. Du mußt doch einfach nur schauen, auf was denn die Basisvektoren abgebildet werden.
Determinante Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte idempotente Matrix
Momentan mal, die Nullmatrix erfüllt doch und deren Eigenwert ist doch ist Null. Geht das als Beispiel jetzt oder nicht? Für den Eigenwert 1 gute Frage hmm ...

Wenn A diagonalisierbar ist, lässt sich A darstellen als: mit ist Diagonalmatrix und deren Einträge sind die Eigenwerte. S ist die Matrix die die dazugehörigen Eigenvektoren enthält. Kann ich damit eventuell etwas anfangen um zu zeigen das jede idempotente Matrix diagonalisierbar ist? Dann müsste ich ja hier quasi einsetzen und die Eigenwerte habe ich ja. Bloß die Eigenvektoren fehlen. Dann könnte ich ja zeigen das beide Seiten gleich sind wenn ich die Eigenvektoren irgendwie bekomme?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte idempotente Matrix
Zitat:
Original von Determinante
Momentan mal, die Nullmatrix erfüllt doch und deren Eigenwert ist doch ist Null. Geht das als Beispiel jetzt oder nicht?

Ich hatte dagegen nichts eingewendet.

Zu dem anderen: leider habe ich da im Moment eine geistige Blockade. Irgendwie komme ich da mit meinem ursprünglichen Gedanken nicht mehr weiter. Sorry.
Determinante Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte idempotente Matrix
Schonmal danke klarsoweit. Möchte jemand anderes vielleicht helfen? smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm irgendeine nichttriviale lineare Abbildung mit . Projiziere zum Beispiel im jedes Element auf die erste Achse. Elemente dieser Achse bleiben somit fest. Bei nochmaliger Anwendung von ergibt sich daher nichts Neues. Wenn du kompliziertere Beispiele suchst, nimm einfach andere Projektionen.

Wir projizieren zum Beispiel jeden Punkt in Richtung auf die Ursprungsgerade mit Richtungsvektor (also auf den von erzeugten Unterraum):



Nun nimmt man einen beliebigen Punkt mit Ortsvektor und schneidet die Gerade mit dem Richtungsvektor , die durch ihn hindurchgeht, mit der Ursprungsgeraden in Richtung . Mit zwei reellen Parametern führt das auf die Gleichung



Aus dieser errechnet man:



und damit den Projektionspunkt mit dem Ortsvektor



Die Abbildung wird also durch die Matrix



beschrieben. Wegen gilt auch .
Determinante Auf diesen Beitrag antworten »

Das verstehe ich ehrlich gesagt garnicht. Wieso zeige ich denn damit das jede idempotente Matrix diagonalisierbar ist?

Es gibt doch zwei Kriterien um zu zeigen das eine Matrix diagonalisierbar ist

1) algebraische Vielfachheit=geometrische Vielfachheit
2) Die Eigenwerte einer Matrix sind paarweise verschieden.

Kann ich das nicht irgendwie benutzen wie ich vorgeschlagen habe?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Dann habe ich dich mißverstanden. Ich dachte, du suchst Beispiele für idempotente Matrizen.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte idempotente Matrix
Warum A diagonalisierbar sein muss, kann man folgendermaßen sehen: Das charakteristische Polynom hat ja die Form . Sei , also A nicht die Nullmatrix. Nun gilt ja . Also ist dieses oder das Polynom das Minimalpolynom. In beiden Fällen haben die Faktoren Vielfachheit 1. Also ist A diagonalisierbar.

Man kann es sich auch anders klar machen. A sei auf Jordan-Normalform D gebracht. Es reicht, einen Jordanblock zum EW 1 zu betrachten, der keine Diagonalform hat. Den nenne ich mal . Hätte nicht Diagonalform, dann hätte nur Einsen auf der 1. oberen Nebendiagonale. Auch ist idempotent, also . Aber es ist



Dies kann man schon an der Multiplikation der 1. Zeile der ersten Matrix mit der 2. Spalte der 2. Matrix sehen.
Determinante Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte idempotente Matrix
Also die Jordan-Normalform haben wir noch nicht eingeführt.Da bleibt wohl nur noch Variante 1 übrig.
Das charakteristische Polynom hat die Form da 0 und 1 Eigenwerte sind richtig? Warum gilt aber ... und warum Vielfachheit 1 und damit diagonalisierbar?
Ich dachte man kann nur anhand den beiden Kriterien die ich genannt habe zeigen das eine Matrix diagonalisierbar ist?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte idempotente Matrix
Zitat:
Original von Determinante

Warum gilt aber


Diese Gleichung wurde weiter oben schon erwähnt. Sie gilt, weil A idempotent ist. Wenn du die JNF nicht kennst, dann nützt meine Beweisführung über die Jordan-Blöcke natürlich nichts.

Zitat:
... und warum Vielfachheit 1 und damit diagonalisierbar?

Ich will dir dafür jetzt keinen Beweis liefern. Wenn du die JNF kennen würdest, wäre es einfach. Es ist aber so, dass für eine nicht-diagonalisierbare Matrix M mit einem einzigen Eigenwert die Matrix nilpotent ist mit Nilpotenzgrad > 1, d.h. . Ist die Matrix diagonalisierbar, dann gilt schon . Damit könnte man jetzt einen Beweis mit Jordan-Blöcken führen.

Zitat:

Ich dachte man kann nur anhand den beiden Kriterien die ich genannt habe zeigen das eine Matrix diagonalisierbar ist?


Vielleicht sind dies die einzigen Kriterien, die du kennst. Das Kriterium mit dem Minimalpolynom ist ein weiteres. Ich möchte mal einen Satz aus einer typischen Algebra-Vorlesung ziitieren (Satz 19.10, S.15): "Seien K ein Körper, und . Dann ist A genau dann diagonalisierbar, wenn das Minimalpolynom in Linearfaktoren zerfällt und keine mehrfachen Nullstellen hat."
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte idempotente Matrix
Gilt nicht verwirrt
Kern(A) ist der Eigenraum zum EW 0. Man kann sich überlegen, dass hier Bild(A) Eigenraum zum EW 1 ist.
Determinante Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte idempotente Matrix
Ich warte dann lieber die Besprechung ab. Die zwei Punkte sind es mir dann doch nicht Wert. Big Laugh

Dankeschön ... Wink
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