Flächenträgheitsmoment bezüglich Achse

16.07.2014, 14:39

hjo

Flächenträgheitsmoment bezüglich Achse

Hallo

In meiner Aufgabe geht es darum, das Trägheitsmoment eines Würfel (Kantenlänge 1) bezüglich einer Achse welche parallel zur x-Achse ist und durch den Punkt (0,a,b) geht.

Mein Ansatz war jetzt das ich das Dreifachintegrall aufstelle und dann über d^2 integriere.

um d zubestimmen, brauchte ich Abstandformel für Punkt-Gerade.

$\begin{eqnarray*} d = \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2 }} \left| \begin{pmatrix} 0 \\ a \\ b \end{pmatrix} \times \begin {pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \right| \end{eqnarray*}$

Aber das stimmt irgendwie nicht, kann mir jemand weiterhelfen?

mfg hjo

16.07.2014, 17:40

Cevas

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RE: Flächenträgheitsmoment bezüglich Achse
Ich würde die Sache langsamer angehen:
Wie ist der Abstand eines Punktes P(0|x|y) zu der Achse?
Was passiert wenn ich den Punkt paralell zu der x-Achse bewege? Ändert sich dieser Abstand?

16.07.2014, 18:06

Dopap

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Das Problem ist eigentlich nur 2-dimensional. Projektiert man parallel zur Drehachse auf die yz-Ebene erhält man ein Quadrat.
Das Flächenträgheitsmoment bestimmt sich nach dem Satz von Steiner als Summe der Trägheitsmomente bezüglich des Mittelpunkt des Quadrates plus Abstand Mittelpunkt-Drehpunkt im Quadrat mal Quadratfläche.
Das Volumenträgheitsmoment des Würfels hat dann denselben Zahlenwert.

Ein zugegebenermaßen ziemlich physikalischer Ansatz.

17.07.2014, 11:00

hjo

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Steiner ist mir bekannt, nur kenn ich dies nur aus der Mechanik-Vorlesung. Jedoch bin ich einwenig überfordert diesen hier anzuwenden. Könnte mir da jemand vielleicht helfen?

Aber generell noch zur Formel:

$\begin{eqnarray*} d = \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \left| \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \times \begin {pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \right| \end{eqnarray*}$

ist diese hier nicht gültig? Weil genau diese Formel hatte ich schon mal angewendet und damals hatte es geklappt.
(der Vektor (a,b,c) wäre hier die Achse und (x,y,z) ein beliebiger Pkt)

vielen Dank

Hjo

18.07.2014, 10:48

hjo

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Ich habe gerade eine Idee, könnte es sein das dies nicht funktioniert hat, weil ich den Ursprung des Koordsystem nicht im Mittelpunkt, sondern in einer Ecke gewählt habe?
Falls ja, wieso muss das so sein?
(versuche es jetzt nochmals mit Mittelpkt des Würfels als Ursprung)

19.07.2014, 10:03

Huggy

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Zitat:

Original von hjo
Aber generell noch zur Formel:

$\begin{eqnarray*} d = \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \left| \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \times \begin {pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \right| \end{eqnarray*}$

ist diese hier nicht gültig? Weil genau diese Formel hatte ich schon mal angewendet und damals hatte es geklappt.
(der Vektor (a,b,c) wäre hier die Achse und (x,y,z) ein beliebiger Pkt)

Das kommt davon, wenn man eine Formel verwendet, ohne sich vorher zu informieren, welche Größen in ihr stehen. Die Formel, die du meinst, kann so geschrieben werden:

$\begin{eqnarray*} d=\frac {|\vec v \times \overrightarrow {P_0P_1}|}{|\vec v|} \end{eqnarray*}$

Darin ist $\begin{eqnarray*} \vec v \end{eqnarray*}$ ein Richtungsvektor der Geraden, $\begin{eqnarray*} P_0 \end{eqnarray*}$ ein Punkt auf der Geraden und $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ der Punkt, dessen Abstand zur Geraden gesucht ist. Du hast für $\begin{eqnarray*} \vec v \end{eqnarray*}$ den Punkt $\begin{eqnarray*} P_0 \end{eqnarray*}$ eingesetzt und für $\begin{eqnarray*} \overrightarrow {P_0P_1} \end{eqnarray*}$ hast du einfach den Punkt $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ eingesetzt. Wenn man in eine richtige Formel Müll einsetzt, kommt auch Müll heraus.

19.07.2014, 13:47

hjo

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Ah das war mein Fehler, ich habe einfach für $\begin{eqnarray*} \overrightarrow {P_0P_1} \end{eqnarray*}$
nicht einen Allgemeinen Pkt genommen, sondern der Ursprung.
Ich werde es noch einmal nachrechnen, vielen Dank!

19.07.2014, 15:03

hjo

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Ach mist, ich krieg immer noch extrem wüste Terme.
ich habe für $\begin{eqnarray*} \overrightarrow {v} \end{eqnarray*}$ nun

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} t \\ a \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gewählt.

Und für $\begin{eqnarray*} \overrightarrow {P_0P_1} \end{eqnarray*}$ , habe ich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y-a \\ z-b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gewählt.

Und da für Trägheitsmoment das Integral über d^2 gesucht wird verschönert es sich ja auch einwenig. Aber ich krieg trotzdem was falsches?

Daher die Frage, habe ich Richtungsvektor und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow {P_0P_1} \end{eqnarray*}$ richtig gewählt und mich irgendwo verrechnet? oder stimmt es so noch nicht?

herzlichen Dank
hjo

19.07.2014, 15:24

Huggy

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Der Vektor $\begin{eqnarray*} \overrightarrow {P_0P_1} \end{eqnarray*}$ ist korrekt. Aber der Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \vec v \end{eqnarray*}$ ist völlig verkehrt. Mach dich noch mal schlau, wie die Gleichung einer Geraden in Parameterform lautet und was dort der Richtungsvektor ist. Dann gib den/einen Richtungsvektor für deine Gerade an. Falls t der Parameter der Geradengleichung sein soll, so gehört der auf keinen Fall in den Richtungsvektor!

19.07.2014, 15:26

hjo

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Ich glaub ich bin zu blöd, danke.

Richtungsvektor wäre dann einfach (1,0,0)

oder?

19.07.2014, 15:38

hjo

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Jetzt nur noch eine Frage, je nach dem wie ich das Koordinatensystem wähle, bekomme ich doch unterschiedliche Werte für das Trägheitsmoment.
Ist einfach wegen der Parameterisierung, 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1, 0 <= z <= 1, der Ursprung festgelegt?

19.07.2014, 16:17

Huggy

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Jetzt ist auch der Richtungsvektor richtig.

Physikalische Größen hängen nicht von der willkürlichen Wahl des Koordinatensystems ab. Das Trägheitsmoment hängt nur von der relativen Lage der Achse zum Körper ab. Je nach Koordinatensystem kann die Rechnung aber einfacher oder schwerer werden.

19.07.2014, 16:50

hjo

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Wie soll ich das verstehen?

Weil wenn $\begin{eqnarray*} \int \!\int \!\int \! \end{eqnarray*}$ (z-b)^2 +(y-a)^2 mit jeweils -0.5 bis 0.5 über alle Achsen löse ist das ja nicht das selbe wie von 0 bis 1 über alle Achsen integriert.

Stelle ich mich so blöd an oder täuscht das? Hammer

19.07.2014, 17:41

Huggy

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Wenn du nur das Koordinatensystem änderst, darfst du nicht nur die Koordinaten des Würfels ändern, sondern auch die Gerade. Die geht in dem neuen Koordinatensystem nicht mehr durch den Punkt (0, a, b), sondern durch einen anderen Punkt.

19.07.2014, 18:25

hjo

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Ja das habe ich mir auch überlegt, aber habe irgendwie zu wenig weit gedacht.

Vielen Dank, jetzt ist alles klar!

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