Konvergenz

16.07.2014, 15:58

Bocks

Konvergenz

Zeige dass $\begin{eqnarray*} \left | a_{n} -a_{n+1}\right |< \lambda \left | a_{n-1} -a_{n}\right | \end{eqnarray*}$ konvergiert.
für lamda element (0,1)

Meine idee
$\begin{eqnarray*} \left | a_{n} -a_{n+1}\right |< \lambda^n \left | a_{1} -a_{0}\right | \end{eqnarray*}$

wähle $\begin{eqnarray*} \lambda < (\varepsilon /\left | a_{1} -a_{0}\right | )^\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left | a_{n} -a_{n+1}\right |< \lambda^n \left | a_{1} -a_{0}\right |< \varepsilon \end{eqnarray*}$

Damit ist die Folge Cauchyfolge, also konvergiert sie.

16.07.2014, 16:59

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Ungleichung kann nicht konvergieren. Und was ist $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ?

Was meinst du also wirklich?

16.07.2014, 19:35

Bocks

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte natürlich zeige, dass die Folge a_n konvergiert.

Gegeben: $\begin{eqnarray*} \left | a_{n} -a_{n+1}\right |< \lambda \left | a_{n-1} -a_{n}\right | \end{eqnarray*}$
Folgt: $\begin{eqnarray*} \left | a_{n} -a_{n+1}\right |< \lambda^n \left | a_{1} -a_{0}\right | \end{eqnarray*}$

zu finden ein N sodass für alle n,m > N
$\begin{eqnarray*} \left | a_{n} -a_{n+1}\right |< \varepsilon \end{eqnarray*}$
gilt

$\begin{eqnarray*} \left | a_{n} -a_{n+1}\right |< \lambda^n \left | a_{1} -a_{0}\right | < \lambda^N \left | a_{1} -a_{0}\right | \end{eqnarray*}$

Wähle $\begin{eqnarray*} N=\log _{\lambda }( \frac{\varepsilon }{\left | a_{1} -a_{0}\right |}) \end{eqnarray*}$

Damit hat man die existenz von N gezeigt
->Cauchyfolge->die Folge a_n konvergiert.

16.07.2014, 22:19

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Bocks,

der Gedanke mit der Cauchyfolge ist auf jedenfall der richtige für diese Aufgabe.
Leider genügt das so aber noch nicht. Für die Existenz einer Cauchyfolge, muss nicht nur $\begin{eqnarray*} |a_n-a_{n+1}| \end{eqnarray*}$ beliebig klein werden, wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ groß ist, sondern sogar $\begin{eqnarray*} |a_n - a_m| \end{eqnarray*}$ für beliebig weit entfernte $\begin{eqnarray*} n,m \end{eqnarray*}$ , solange sie beide nur größer als ein $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ sind.

Kleines Gegenbeispiel, warum es mit dem ersten nicht funktioniert:

$\begin{eqnarray*} a_n := \log(n), n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} |a_{n+1}-a_n| \to 0~(n\to\infty) \end{eqnarray*}$ , aber offensichtlich existiert $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_n \end{eqnarray*}$ nicht.

Überlege dir, wie du für $\begin{eqnarray*} m>n \geq N \end{eqnarray*}$ die Differenz $\begin{eqnarray*} |a_m-a_n| \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} |a_{m+1}-a_m| \end{eqnarray*}$ zurückführen kannst. Tipp: Dreiecksungleichung ausnutzen.

Viele Grüße.

16.07.2014, 23:04

Bocks

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} |a_m - a_n| \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \left | \sum_{n}^{m-1}a_{i+1}-a_{i} \right | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left | \sum_{n}^{m-1}a_{i+1}-a_{i} \right |< \sum_{n}^{m-1}\lambda ^i \left | a_{i}-a_{i-1} \right | \end{eqnarray*}$

macht das sinn?

16.07.2014, 23:24

Bocks

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \left | \sum_{n}^{m-1}a_{i+1}-a_{i} \right |< \sum_{n}^{m-1}\lambda ^i \left | a_{i}-a_{i-1} \right | < \sum_{i=0}^{\infty}\lambda ^i * C = \frac{1}{1-\lambda} *C \end{eqnarray*}$

mit C:= das Maximum aus abs(ai-a_(i-1))
und zuletzt wurde der Grenzwert der geometrische reihe benutzt.

16.07.2014, 23:59

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Idee ist gut, du müsstest es aber noch etwas präziser fassen. Das $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ zum Beispiel. Wenn du das als das Maximum über alle $\begin{eqnarray*} |a_i-a_{i-1}| \end{eqnarray*}$ nimmst, funktioniert es nicht, denn $\begin{eqnarray*} \frac{C}{1-\lambda} \end{eqnarray*}$ wird ja nicht beliebig klein. Nimm statt $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ lieber direkt $\begin{eqnarray*} |a_{n+1}-a_n| \end{eqnarray*}$ (denn das ist es ja, was herauskommt). Und zeige, dass dann $\begin{eqnarray*} \frac{|a_{n+1}-a_n|}{1-\lambda} \end{eqnarray*}$ beliebig klein wird, wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ groß genug. (Das hast du ja eigentlich schon vorher getan).

17.07.2014, 00:11

Bocks

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Guppi12
. Nimm statt $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ lieber direkt $\begin{eqnarray*} |a_{n+1}-a_n| \end{eqnarray*}$ (denn das ist es ja, was herauskommt). Und zeige, dass dann $\begin{eqnarray*} \frac{|a_{n+1}-a_n|}{1-\lambda} \end{eqnarray*}$ beliebig klein wird, wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ groß genug. (Das hast du ja eigentlich schon vorher getan).

Das Problem ist, dass doch die Summe über i geht wieso darf ich einfach einen Summanden raus picken
$\begin{eqnarray*} |a_{n+1}-a_n| \end{eqnarray*}$

17.07.2014, 00:29

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, ich dachte, das hättest du schon gehabt. So interprätierte ich deine Ungleichung oben.

Du hast doch bereits $\begin{eqnarray*} |a_m-a_n| \leq \sum_{i=n}^{m-1}|a_{i+1}-a_i| = \sum_{i=0}^{m-n-1}|a_{n+i+1}-a_{n+i}| \end{eqnarray*}$ .

Du kannst doch jetzt $\begin{eqnarray*} |a_{n+i+1}-a_{n+i}| \end{eqnarray*}$ abschätzen durch $\begin{eqnarray*} \lambda^i|a_{n+1}-a_n| \end{eqnarray*}$ .

17.07.2014, 00:35

Bocks

Auf diesen Beitrag antworten »

oh je darauf wäre ich nicht gekommen
damit habe die aufgabe

allerdings wie hätte ich auf
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=n}^{m-1}|a_{i+1}-a_i| = \sum_{i=0}^{m-n-1}|a_{n+i+1}-a_{n+i}| \end{eqnarray*}$
kommen sollen verwirrt

17.07.2014, 00:49

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, das ist eigentlich reine Formsache. Es geht eigentlich mehr darum, sich zu überlegen, dass man $\begin{eqnarray*} |a_m-a_{m-1}| \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \lambda |a_{m-1}-a_{m-2}| \end{eqnarray*}$ und dann so weiter abschätzen kann, bis man schließlich bei $\begin{eqnarray*} \lambda^k |a_{n+1}-a_n| \end{eqnarray*}$ ist, wobei $\begin{eqnarray*} k=m-n-1 \end{eqnarray*}$ .

Die Indexverschiebung ist reine Kosmetik.

Ich hatte wie gesagt auch gedacht, da wärst du schon drauf gekommen gewesen, sonst hätte ich das so nicht geschrieben. Da sieht man mal, dass es hilfreich sein kann, das, was man tut, auch etwas zu kommentieren.

17.07.2014, 01:12

Bocks

Auf diesen Beitrag antworten »

vielen dank Wink

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenz

Verwandte Themen