In Hauptidealringen gilt: ggT(x,y)kgV(x,y) ~ xy

16.07.2014, 18:08	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
*In Hauptidealringen gilt: ggT(x,y)kgV(x,y) ~ xy* Moin, Es geht um folgendes: Aufgabe: Sei R ein Hauptidealring und $\begin{eqnarray} x,y \in R - \{ 0 \} \end{eqnarray}$ Zeige: $\begin{eqnarray} ggT(x,y)kgV(x,y) \end{eqnarray}$ ist assoziiert zu $\begin{eqnarray} xy \end{eqnarray}$ Lösung: Ich habe hier eine Lösung, allerdings nutze ich da die Eigenschaft es Hauptidealrings nur unbewusst aus. Ich habe es folgendermaßen gemacht: $\begin{eqnarray} xy \sim aggT(x,y) bggT(x,y) \end{eqnarray}$ Es gilt die Assoziiertheit und keine Gleichheit, da der ggT nur bis auf Einheiten eindeutig ist. a und b sind aufgrund der Eigenschaft des ggT immer teilerfemd. Weiter gilt: $\begin{eqnarray} kgV(x,y) \sim kgV(aggT(x,y), bggT(x,y)) \sim kgV(a,b)ggT(x,y) \end{eqnarray}$ Da aber a und b teilerfremd sind, ist $\begin{eqnarray} kgV(a,b) = ab \end{eqnarray}$ Damit ergibt sich: $\begin{eqnarray} xy \sim aggT(x,y) bggT(x,y) \sim abggT(x,y) ggT(x,y) \sim kgV(x,y) ggT(x,y) \end{eqnarray}$ Jetzt zum Problem. Ich bin mir nicht ganz sicher, warum es sich um einen Hauptidealring handeln muss. Meine Vermutung ist folgende. In einem Ring, welcher KEIN Hauptidealring ist, könnte es mir passieren, dass der ggT(x,y) das Produkt x*y überhaupt nicht erzeugt. In einem Hauptidealring müsste das aber auf jeden Fall immer so sein. Mir fällt leider kein schöner Ring ein, welcher kein Hauptidealring ist, wo man mal ein Gegenbeispiel finden könnte. Der Polynomring über Z ist kein HiR aber mir fällt da spontan jetzt kein Gegenbeispiel ein. Dafür fällt mir gerade auf, dass ich Kommutativität benutzt habe. Das darf ich eigentlich nicht oder? Oder hängt das auch mit Hauptidealringen zusammen? Darüber denk ich noch ein wenig nach. Gruß Martin
17.07.2014, 10:40	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
*RE: In Hautidealringen gilt: ggT(x,y)kgV(x,y) ~ xy* Zu deiner Frage, ob der Ring Hauptidealring sein muss, verweise ich dich mal auf die Konkurrenz, sowie auf planetmath. Ein Ring, in dem ein ggT existiert (und damit auch ein kgV), muss kein Hauptidealring sein, aber in jedem Hauptidealring existiert ein ggT.
18.07.2014, 15:17	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
*RE: In Hautidealringen gilt: ggT(x,y)kgV(x,y) ~ xy* Ein Beispiel für einen faktoriellen Ring, der kein Hauptidealring ist, aber in dem aufgrund der Eigenschaft, faktoriell zu sein, ein ggT existiert, ist der Polynomring $\begin{eqnarray} \mathbb Z[X] \end{eqnarray}$ . Der ist faktoriell, weil $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ faktoriell ist und der Satz von Gauß gilt.

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