Fast sichere konvergenz der emp. charakteristischen Funktion gegen die charakteristische Funktion

16.07.2014, 22:33	Ben20	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast sichere konvergenz der emp. charakteristischen Funktion gegen die charakteristische Funktion Meine Frage: Hallo, ich soll beweisen, dass die empirische charakteristische Funktion $\begin{eqnarray} \hat{\varphi}_n(t) \end{eqnarray}$ der Stichprobe $\begin{eqnarray} X_1,\dots,X_n \end{eqnarray}$ fast sicher gegen die charakteristische Funktion $\begin{eqnarray} \varphi(t) \end{eqnarray}$ der Verteilung der Stichprobe konvergiert. Also, dass $\begin{eqnarray} \forall x\in\mathbb{R}:\quad\quad \hat{\varphi}_n(t) \quad \xrightarrow{ f.s. }\quad \varphi(t) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Meine Idee: Die fast sichere Konvergenz schreibt sich auch als $\begin{eqnarray} P(\lim_{n\to\infty}{\hat{\varphi}_n(t)}=\varphi(t))\quad=\quad1 \end{eqnarray}$ . Es gilt $\begin{eqnarray} <br /> P(\lim_{n\to\infty}{\hat{\varphi}_n(t)} = \varphi(t))=1<br /> \Leftrightarrow P(\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n{e^{itX_j}}}=E({e^{itX_j}}))=1<br /> \end{eqnarray}$ Definieren wir nun $\begin{eqnarray} Y_j:=e^{itX_j} \end{eqnarray}$ , so folgt $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow P(\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n{Y_j}}=E({Y_j}))=1 \end{eqnarray}$ Für eine Folge unabhängig und identisch verteilter Zufallsvariablen gilt das starke Gesetz der großen Zahlen, dass besagt, dass das arithmetische Mittel der Zufallsvariablen fast sicher gegen ihren Erwartungswert konvergiert. Da die Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} X_1,\ldots,X_n \end{eqnarray}$ unabhängig und identisch verteilt sind, sind auch die $\begin{eqnarray} Y_j, j=1,\ldots,n \end{eqnarray}$ unabhängig und identisch verteilt, und genügen damit dem starken Gesetz der großen Zahlen. Das aritmethische Mittel $\begin{eqnarray} \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n{Y_j} \end{eqnarray}$ konvergiert also fast sicher gegen $\begin{eqnarray} E({Y_j}) \end{eqnarray}$ , womit gezeigt ist, dass die empirische charakteristische Funktion fast sicher gegen die charakteristische Funktion konvergiert. Kann ich den Beweis so führen? Danke für die Hilfe!

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