Wie beweist man das Assoziativgesetz der Addition auf den natürlichen Zahlen ?

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ralfkannenberg Auf diesen Beitrag antworten »
Wie beweist man das Assoziativgesetz der Addition auf den natürlichen Zahlen ?
Hallo zusammen,

ich weiss, dass meine Frage irgendwie trivial erscheinen dürfte, aber nun stelle ich sie trotzdem einmal:

Von klein an lernt man ja, dass bezüglich der Addition das "Verknüpfungsgesetz" auf der Menge der natürlichen Zahlen bis hin zur Menge der Quaternionen gültig ist, oder allgemeiner formuliert, auf der Halbgruppe der natürlichen Zahlen bis hin zum Schiefkörper der Quaternionen gültig ist. Man könnte das noch weiter verallgemeinern, weil das Assoziativgesetz der Addition ja auch in Vektorräumen gültig ist, ich will das aber deswegen nicht tun, weil bei einer weiteren unabhängigen imaginären Einheit, also der Divisonsalgebra der Oktaven, das Assoziativgesetz der Multiplikation im Allgemeinen nicht mehr gültig ist.

Wie gesagt: ich interessiere mich jetzt erst einmal für das Assoziativgesetz der Addition auf den natürlichen Zahlen und irgendwie stellt man dieses Resultat nie in Frage, sondern erachtet es als selbstverständlich.

Da die Halbgruppe der natürlichen Zahlen per Peano-Axiomen definiert ist, nehme ich an, dass man das Assoziativgesetz der Addition mit Hilfe der Peano-Axiome beweisen wird.

Man wird also letztlich die Eindeutigkeit der Nachfolger der involvierten Zahlen nutzen müssen, und dann verwenden, dass es egal ist, ob ich erst (b+c) mal von a Nachfolger bilde oder ob ich erst b mal von a einen Nachfolger bilde und zu (a+b) gelange und dann nochmal c-mal einen Nachfolger bilde. Und dann legt man noch eine vollständige Induktion drüber, um ganz IN abzudecken.

Ich denke, das wird schon so hinhauen, nur: ein solcher Beweis ist ziemlich technisch und es fehlt ihm die Eleganz.

Hat jemand von Euch eine bessere Idee ?


Ach ja: wenn man den Beweis auf die Gruppe der ganzen Zahlen erweitern möchte, so wird man die natürlichen Zahlen hierfür nicht an der 0 "spiegeln", sondern vielmehr ihr Startelement bei -(|a|+|b|+|c|) legen ("verankern") und dann den eben geführten Beweis auf der Menge der natürlichen Zahlen anwenden, da es aus Sicht der Peano-Axiome egal ist, ob ich das Startelement 1 oder das Startelement -(|a|+|b|+|c|) wähle.

Für die Erweiterung auf den Körper der rationalen Zahlen kann man das dann via Hauptnenner-Bildung auf den Beweis der ganzen Zahlen zurückführen und mit Hilfe der Dreiecksungleichung dann auf die reellen Zahlen ausdehnen, da IQ ja dicht in IR liegt. Durch komponentenweises Ausmultiplizieren verallgemeinert man das dann für die übrigen Mengen.


Freundliche Grüsse, Ralf
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Ralf !

Ich habe dazu keine Meinung, nur kurz eine Frage:

geht es um Assoziativität oder um Distributivität. verwirrt
ralfkannenberg Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Dopap,

seien a, b und c natürliche Zahlen.

Dann gilt: (a+b)+c = a+(b+c).


Beweis ?


Freundliche Grüsse, Ralf


P.S. In einer Halbgruppe ist im Allgemeinen kein Distributivgestz definiert.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ralfkannenberg

P.S. In einer Halbgruppe ist im Allgemeinen kein Distributivgestz definiert.


Ja klar, wie konnte ich das nur vergessen unglücklich Augenzwinkern

Aber ernsthaft: Sehr spezielle Frage, die sicher ins Hochschulforum gehört.
Das Problem ist nur, dass die Members, die dazu was sagen könnten nicht laufend online sind.
Es könnte sich empfehlen, die Frage gelegentlich zu wiederholen.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie beweist man das Assoziativgesetz der Addition auf den natürlichen Zahlen ?
Hallo,
Zitat:
Original von ralfkannenberg

Da die Halbgruppe der natürlichen Zahlen per Peano-Axiomen definiert ist, nehme ich an, dass man das Assoziativgesetz der Addition mit Hilfe der Peano-Axiome beweisen wird.

Man wird also letztlich die Eindeutigkeit der Nachfolger der involvierten Zahlen nutzen müssen, und dann verwenden, dass es egal ist, ob ich erst (b+c) mal von a Nachfolger bilde oder ob ich erst b mal von a einen Nachfolger bilde und zu (a+b) gelange und dann nochmal c-mal einen Nachfolger bilde. Und dann legt man noch eine vollständige Induktion drüber, um ganz IN abzudecken.

Ich denke, das wird schon so hinhauen, nur: ein solcher Beweis ist ziemlich technisch und es fehlt ihm die Eleganz.

Eleganz liegt im Auge des Betrachters ich find den Beweis:
matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=316
durchaus elegant.

Zitat:

Ach ja: wenn man den Beweis auf die Gruppe der ganzen Zahlen erweitern möchte, so wird man die natürlichen Zahlen hierfür nicht an der 0 "spiegeln", sondern vielmehr ihr Startelement bei -(|a|+|b|+|c|) legen ("verankern") und dann den eben geführten Beweis auf der Menge der natürlichen Zahlen anwenden, da es aus Sicht der Peano-Axiome egal ist, ob ich das Startelement 1 oder das Startelement -(|a|+|b|+|c|) wähle.

Wenn, dann definiert man den ganzen zahlen aber auch gleich sauber:
de.wikipedia.org/wiki/Grothendieck-Gruppe
und dann ist die Eigenschaft eine direkte Folge der Konstruktion.

Zitat:

Für die Erweiterung auf den Körper der rationalen Zahlen kann man das dann via Hauptnenner-Bildung auf den Beweis der ganzen Zahlen zurückführen und mit Hilfe der Dreiecksungleichung dann auf die reellen Zahlen ausdehnen, da IQ ja dicht in IR liegt. Durch komponentenweises Ausmultiplizieren verallgemeinert man das dann für die übrigen Mengen.

Hier steig ich nicht mehr durch. Wie soll mit der Dreiecksungleichung hier denn gearbeitet werden?
Auch hier sollte man zuerst sauber die rationalen und die reellen Zahlen definieren.

Und was sind "die übrigen Mengen"?
Es gibt z.B. auch endliche Körper, die sind nirgendwo in den obigen Konstrukten wiederzufinden. Mal ganz abgesehen davon, dass Mengen keine Addition haben und damit gar nicht das Ass.gesetz erfüllen können.

Freundliche Grüsse, Ralf[/quote]
ralfkannenberg Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie beweist man das Assoziativgesetz der Addition auf den natürlichen Zahlen ?
Zitat:
Original von Captain Kirk
Eleganz liegt im Auge des Betrachters ich find den Beweis:
matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=316
durchaus elegant.

Hallo Captain Kirk,

ich teile Deine Ansicht. Besten Dank, den Link kannte ich noch nicht. Der "Trick" bzw. der gute Ansatz ist das dort genannte "Schaukel-Lemma".

Zitat:
Original von Captain Kirk
Wenn, dann definiert man den ganzen zahlen aber auch gleich sauber:
de.wikipedia.org/wiki/Grothendieck-Gruppe
und dann ist die Eigenschaft eine direkte Folge der Konstruktion.

Ich hatte nicht nach einer algebraischen Konstruktion der ganzen Zahlen, sondern nach einer "allgemeinen" Konstruktion gesucht. Dass man aus einer kommutativen Halbgruppe bis auf Isomorphie eine minimale kommutative Gruppe erzeugen kann hatte ich nicht angezweifelt.

Zitat:
Original von Captain Kirk
Hier steig ich nicht mehr durch. Wie soll mit der Dreiecksungleichung hier denn gearbeitet werden?
Auch hier sollte man zuerst sauber die rationalen und die reellen Zahlen definieren.

An sich geht das über meine Fragestellung hinaus; tatsächlich habe ich aber stillschweigend die rationalen Zahlen algebraisch konstruiert, d.h. als minimalen Quotientenkörper über den Integritätsbereich der ganzen Zahlen. Und ob man nun die reellen Zahlen via Dedekind'sche Schnitte oder via Vervollständigung konstruieren will, sei jedem selber überlassen; bei letzterem kann man dann einfach wegen der Dichtheit von IQ in IR das Assoziativgesetz mit Hilfe der Epsilontik und der Dreieckungleichung beweisen; vielleicht geht das auch einfacher.

Zitat:
Original von Captain Kirk
Und was sind "die übrigen Mengen"?

Es gibt z.B. auch endliche Körper, die sind nirgendwo in den obigen Konstrukten wiederzufinden. Mal ganz abgesehen davon, dass Mengen keine Addition haben und damit gar nicht das Ass.gesetz erfüllen können.

Ich hatte hier noch an die komplexen Zahlen, Quaternionen, Oktaven usw. gedacht.

Im Allgemeinen wird man anstelle der Addition von einer "inneren Verknüpfung" sprechen.

Aber eben: das ist an sich alles einfach; mir ging es um den Beweis auf den natürlichen Zahlen und da hast Du mir einen sehr schönen Link mit dem "Schaukel-Lemma" genannt.

Besten Dank !


Freundliche Grüsse, Ralf
 
 
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