Rotationsmatrix berechnen

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Manko Auf diesen Beitrag antworten »
Rotationsmatrix berechnen
Meine Aufgabe ist folgende:
"Bestimmen Sie die Transformationsmatrix R, welche eine Rotation um 120° um eine Achse vom Ursprung durch den Punkt (1,1,1) beschreibt. Wenn Sie entlang der Achse zum Ursprung blicken verläuft die Transformation im Uhrzeigersinn"

Ich habe mir die Gerade eingezeichnet und ich habe es auch schon geschafft den zweidimensionalen Fall herzuleiten jedoch nur mit normalen Koordinaten. Jedoch weiß ich nicht wie man so eine Aufgabe angeht. Am hilfreichsten wäre natürlich eine detailliert erklärte Lösung von euch die nachvollziehbar und argumentiert ist, ihr werdet aber dagegensprechen dass ich alleine lernen soll. Und das tue ich auch. Nur brauch ich zumindest EIN EINZIGES durschgerechnetes schlüssig nachvollziehbares Beispiel, damit ich einige vermutlich für mich noch nicht offensichtliche Verknüpfungen in meinem Kopf bilden kann.

Alles andere wird vermutlich nicht helfen, da ich schon probiert habe winkel anzusetzen und im Endeffekt keine Ahnung hatte was ich da gemacht habe...

Lautet der ANsatz vielleicht so?: Zuerst zu ermitteln in welche richtung (x,y,z) um wieviel grad gedreht wird? Weil ich weiß ja dass es auf dieser Geraden 120° sind. Jedoch nicht wieviel in jeder kanonischen Basis Richtung. Wäre das ein Ansatz?
Wenn ja wie würde er mich zum Ziel führen?

Für mich sieht das momentan ziemlich abstrakt aus und ich weiß wirklich ÜBERHAUPT NICHT was da zu tun ist...

Was bringt sich diese AUfgabe? Und was soll ich in wirklichkeit überhaupt machen??

PS: Ich übe gerade selbstständig weil es mir spaß macht und bin daher auf euch angewiesen.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Die gesuchte Matrix findest bei WIKIPEDIA unter dem Stichwort "Drehmatrix".
Manko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die gesuchte Matrix findest bei WIKIPEDIA unter dem Stichwort "Drehmatrix".

Ja eh. Aber was ist das und wo kommt das her?
Ich brauche da einfacher bessere Erklärungen. In meinem E.Richter Buch zb kommt man mit einer einzigen kryptischen mathematischen Zeile ans ziel. Jedoch kann ich die Schrift nicht entschlüsseln.
Auch in der Lösung scheint eine einzige Zeile zu reichen. Aber das kanns ja nicht sein oder`?
Ich denke da suggerieren uns die Mathematiker vor dass alles so einfach ist, jedoch nutzen sie ihre Erfahrung dabei aus.

Muss ich diese Formel aus Wiki wirklich auswendig können?
Wie kann ich sie mir herleiten ohne entschlüsselung zu betreiben, mit logischen einfach nachvollziehbaren Schritten.

Die Drehung um die x, y, z Achse habe ich herleiten können mit einpaar Summensätzen. Aber das hier ist einfach schwer...

Das Problem ist ich hab einfach keinen Ansatz dafür
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Drehachse zeigt in Richtung des Einheitsvektors



Man zerlegt den Vektor, den man drehen will, in einen parallelen und einen senkrechten Anteil bezüglich dieser Drehachse, also



Der parallele Anteil wird bei der Drehung nicht geändert. Wir müssen also nur den senkrechten Anteil drehen (also die "Speichen" des Rades). Der gedrehte Vektor muss also lauten



Den Einheitsvektor des senkrechten Anteils kürzen wir ab mit



Stellt man dies um nach dem Zähler und setzt es in die vorherige Formel ein, ergibt sich

_______________Formel (*)

Da der Einheitsvektor laut Voraussetzung senkrecht zur Drehachse liegt, muss auch der gedrehte Vektor senkrecht zur Drehachse liegen. Da die Ebene, welche senkrecht zur Drehachse steht, durch die beiden senkrechten Einheitsvektoren und aufgespannt wir, existiert also eine Linearkombination

______Formel (**)

Da dies eine einfache 2-dimensionale Drehung ist, lauten die Koeffizienten




Dabei ist phi der Drehwinkel. Mit diesen Koeffizienten setzen wir Formel (**) in Formel (*) ein. Anschließend setzt man wieder den obigen Einheitsvektor in die Formel ein und erhält so das Gewünschte.
--------------------
Prüfe noch nach, ob die Orientierung meiner Drehung stimmt. Anderenfalls muss man noch irgendwo ein Vorzeichen ändern.
Manko Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke. Habs jetzt gelöst.
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