DGL um Arbeitspunkt linearisieren

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Newbie... Auf diesen Beitrag antworten »
DGL um Arbeitspunkt linearisieren
Hallo Mathe-Freunde,
ich fange am besten mal vorn an. Es geht um folgende Teilaufgabe (das ganze kommt aus der Regelungstechnik):

Die Differentialgleichung ist für kleine Auslenkungen und zu linearisieren. Verwenden sie dafür den Gleichgewichtspunkt ,.

Dabei geht es um folgende Differentialgleichung:


Ich habe gelesen das man nun die nicht-linearen Terme der DGL in eine Taylorreihe entwickelt und diese nach der ersten Ordnung abbricht, frei nach dem Motto:



Da ich noch nie eine DGL linearisiert habe weiß ich nicht so recht wie ich jetzt vorgehen soll.
Mein Ansatz war zunächst einmal eben jene nicht-lineare Terme in die Taylor-Reihe nach (a) zu entwickeln:








Im folgenden würde ich die obigen Taylor-Entwicklungen dann wieder in die DGL einsetzen.
Allerdings ist mir nicht so ganz klar ob ich nicht irgendetwas in bezug auf vergessen habe, danach sollte man ja eigentlich auch entwickeln.
Mir wäre sehr geholfen wenn mir jemand sagen könnte ob ich bis hier hin richtig liege oder
ob das Blödsinn ist, da ich nämlich nicht auf die (angeblich) richtige Lösung komme.

Gruß
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die Differenzialgleichung



Dabei sind a, b, c gewisse Konstanten. Da diese Gleichung nichtlinear und folglich schwierig zu lösen ist, versucht man sie zu linearisieren. Die Motivation dafür ist also allein mathematisch. Dazu verwendet man die Taylorentwicklungen bis maximal zur linearen Ordnung für "kleine" .




Die Anwendbarkeit dieser Näherung gilt natürlich nur, wenn die gesuchte Funktion tatsächlich "klein" ist. Das muss anhand des praktischen Sachverhaltes geprüft werden. Bei der Kosinusreihe existiert kein lineares Glied. Das folgende quadratische Glied in der Kosinusreihe kann ignoriert werden, weil es bereits "zu klein" ist. Einsetzen der Taylorentwicklungen in die Differenzialgleichung liefert



Die Linearisierung bezüglich verstehe ich auch nicht. Wenn eine Konstante ist, muss nicht mehr linearisiert werden, weil die neue Differenzialgleichung bereits linear ist. Wenn seinerseits von abhängt, muss man in einer Taylorreihe entwickeln. Mit der Kettenregel erhält man



Setze dies in die linearisierte Differenzialgleichung ein und multipliziere die eckige Klammer aus. Nach dem Ausmultiplizieren lasse diejenigen Summenden weg, wo quadratische Potenzen vorkommen, weil diese "noch viel kleiner" sind als die "kleinen" linearen Potenzen. Das war's.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

@Ehos
Es soll doch um den Arbeitspunkt linearisiert werden. Der ist hier aber nicht bei .

@Newbie
Dein Vorgehen ist im Prinzip richtig. Ich schreibe die DGL mal kompakt als:



Zunächst ist der Arbeitspunkt zu bestimmen. Darunter versteht man üblicherweise einen Punkt, an dem der Körper in Ruhe bleibt, falls er sich dort befindet und dort die Anfangsgeschwindigkeit 0 hat. Für den Arbeitspunkt muss also gelten



Das führt zu der Bestimmungsgleichung



Die kann nur numerisch gelöst werden. Dazu müssen die Zahlenwerte der Konstanten bekannt sein. Die Linearisierung von um den Arbeitspunkt ist:



mit



Wegen und lautet die linearisisierte DGL:



Ob man direkt berechnet oder über die Ausmultiplikation der Tayloreihen des Sinus und Cosinus am Arbeitspunkt, ist gehupft wie gesprungen.


Bezüglich der Linearisierung um stellt sich mir dieselbe Frage wie Ehos. Da fehlen einfach Informationen.
Newbie... Auf diesen Beitrag antworten »

Ich werde mich gleich nochmal damit beschäftigen. Was angeht hätte ich eventuell die Aufgabe etwas mehr erläutern sollen.
beschreibt in diesem Fall die Winkelgeschwindigkeit einer Welle an der in gewissem Sinne ein Pendel hängt. Dieses Pendel erfährt durch eine Auslenkung ( ist also ein Winkel). Ändert sich so ändert sich auch . ist also keine Konstante. Deshalb die Frage ob ich die DGL nicht eigentlich nach UND entwickeln müsste?
Newbie... Auf diesen Beitrag antworten »

Hier mal die Lösung die danach rauskommen soll, eventuell könnt ihr damit ja was anfangen:



Das lässt einen ja schon vermuten das hier auch nach entwickelt wurde.
Newbie... Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich habe jetzt einfach nochmal weiter gemacht und geschaut was dabei raus kommt (Entschuldigung für den dreifach-post...).
Die Entwicklung nach habe ich ja bereits in meinem ersten post gemacht.
Jetzt habe ich noch die nach gemacht:




Wenn ich das jetzt alles mal wieder in die DGL einsetze:










Wenn ich jetzt einfach mal alle Terme ohne Ableitung oder bzw vernachlässige (warum ist mir allerdings nicht klar!!) und zusätzlich noch sage das:



weil sehr klein ist, dann komme ich tatsächlich auf die oben angegebene Lösung:







Wenn ich bis hier hin richtig gerechnet habe, kann mir dann eventuell noch jemand erklären weshalb ich die ganzen konstanten Terme oben vernachlässigen kann? Schon im voraus einmal vielen Dank an jeden der sich hier durch wühlt.

Gruß
 
 
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Fleiß ist bewundernwert! Freude
Allerdings war ich zu faul, deine Rechnung im Detail zu verfolgen.

Ich bin mit meiner Kurznotation zu demselben Ergebnis gekommen. Allerdings fiel mir kein Grund ein, weshalb der Term mit wegfallen sollte. Woher weißt du, das klein ist?

Die anderen wegfallenden Term erklären sich so: Mein schreibe ich etwas ausführlicher als:



Die Arbeitspunktbedingung (siehe mein voriger Beitrag) soll an der Stelle gelten. Dann ergibt :




Deine Informationen zur Aufgabenstellung empfinde ich als arg dürftig. unglücklich Ein Bild mit der Konfiguration wäre hilfreich gewesen. Die Bedeutung von ist noch immer ziemlich unklar. Woher bekommt man . Wieso ist klein?
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