Folge Abschätzung Konvergenz

17.07.2014, 21:39

Folgenkalle

Folge Abschätzung Konvergenz

Hi Leute, wir sollen die Folge $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n \end{eqnarray*}$ auf Konvergenz untersuchen. Dabei ist unser Übungsleiter so vorgegangen:

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n\geq 1+n\cdot\frac{1}{n^2}\rightarrow 1 \end{eqnarray*}$

Die Folge wurde mit der Bernoulli Ungleichung nach oben abgeschätzt. Kann mir jemand sagen warum man nach oben abschätzen darf und darauß folgt das die Folge gegen 1 konvergiert? ich meine das $\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{n}\rightarrow 1 \end{eqnarray*}$ konvergiert ist klar aber warum gilt wenn die Folge $\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{n}\rightarrow 1 \end{eqnarray*}$ gegen 1 konvergiert dann auch die Folge $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n \end{eqnarray*}$ gegen 1 konvergiert? Das will irgendwie nicht in meine Birne.

Wink

17.07.2014, 21:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von Folgenkalle
$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n\geq 1+n\cdot\frac{1}{n^2}\rightarrow 1 \end{eqnarray*}$

Die Folge wurde mit der Bernoulli Ungleichung nach oben abgeschätzt.

Das ist eine Abschätzung nach unten. Und die allein reicht nicht, man braucht ein komplettes Sandwich, d.h. zusätzlich auch noch eine wirkliche (!) Abschätzung nach oben.

P.S.: Nach unten hätte es auch einfach $\begin{align*} \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n\geq 1 \end{align*}$ getan. Augenzwinkern

17.07.2014, 21:43

Gast11022013

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In meine Birne will das gerade auch nicht so wirklich rein.
Mit der Bernoullie Ungleichung kannst du außerdem auch nur nach unten abschätzen. Und nur weil du etwas nach unten gegen etwas konvergentes abschätzen kann, heißt das noch lange nicht, dass die abgeschätzte Folge dann konvergent sein muss.
Viel eher sollte man eine Abschätzung nach oben finden, von der man weiß, dass sie konvergiert.

Denn wenn etwas konvergiert, was ohnehin schon immer größer ist, dann auch sicherlich etwas, was kleiner ist.

Edit: Bin weg.

17.07.2014, 21:57

Folgenkalle

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Achso und eine Abschätzung nach oben kann ich einfach 1 nehmen und damit ist das Sandwich Lemma erfüllt?

Wir hatten auch die Folge $\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n \end{eqnarray*}$ Die wurde nun wie folgt umgeformt.

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n=((1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n}))^n=(1-\frac{1}{n})^n\cdot (1+\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$ und jetzt Also dritte binomische Formel angewendet. Jetzt kann man ja die Grenzwerte einzeln betrachten nach Grenzwertsätzen.

$\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{n})^n\rightarrow e \end{eqnarray*}$ aber gegen was geht dann $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$ ??

17.07.2014, 21:57

HAL 9000

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Man kann tatsächlich die Bernoulli-Ungleichung wirksam einsetzen, aber angewandt auf den Kehrwert der Potenz:

$\begin{align*} \frac{1}{\displaystyle \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n} = \left(1-\frac{1}{n^2+1}\right)^n \geq \ldots \end{align*}$

Zitat:

Original von Folgenkalle
Achso und eine Abschätzung nach oben kann ich einfach 1 nehmen

Anscheinend verwechselst du ständig die Bedeutung der Begriffe "nach unten" und "nach oben" - selbst nach meinem Beitrag oben. unglücklich

17.07.2014, 22:07

Folgenkalle

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Wie jetzt, ich dachte mit der bernoulli ungleichung schätze ich nach unten ab und dann muss ich noch eine abschätzung nach oben finden ... Kann ich für die abschätzung nach oben nicht die 1 nehmen?

17.07.2014, 22:08

HAL 9000

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Eine weitere Unterhaltung hat keinen Zweck, wenn du nicht endlich bequemst, die Begriffe richtig zu nutzen. unglücklich

17.07.2014, 22:14

Folgenkalle

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Ja dann erkläre es mir doch anstatt auf den großen Zampadu zu machen.

Zitat:

Mit der Bernoullie Ungleichung kannst du außerdem auch nur nach unten abschätzen. Und nur weil du etwas nach unten gegen etwas konvergentes

Hat Gmasterflash geschrieben. Wo ist denn jetzt der Fehler?

17.07.2014, 22:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von Folgenkalle
Ja dann erkläre es mir doch anstatt auf den großen Zampadu zu machen.

Hab ich getan, 21:42 - vielleicht liest du mal die Beiträge, statt hier frech zu werden. Forum Kloppe

Wie man eine Abschätzung nach oben hinkriegt, hatte ich im nächsten Beitrag genannt - hast du aber auch nicht mitgekriegt.

@Gmasterflash

Deiner, falls du noch Lust hast.

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