Kompakte Menge

18.07.2014, 10:11

Yobob

Kompakte Menge

Meine Frage:
Hallo,

Ist die Menge $\begin{eqnarray*} x \in [0,1]^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_1 + ... + x_n = 1 \end{eqnarray*}$ kompakt?

Meine Ideen:
Offensichtlich ist die Menge beschränkt. Wenn sie abgeschlossen wäre, wäre sie nach Satz auch kompakt. Da bin ich mir nur gerade nicht so sicher.

18.07.2014, 10:20

bijektion

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Zitat:

Ist die Menge $\begin{eqnarray*} x \in [0,1]^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_1 + ... + x_n = 1 \end{eqnarray*}$ kompakt?

Sollte es nicht heißen: ist die Menge $\begin{eqnarray*} [0,1]^n \end{eqnarray*}$ kompakt?

Alle Folgen $\begin{eqnarray*} x_j\in [0,1]^n \end{eqnarray*}$ haben die Form $\begin{eqnarray*} x_j=(x_j^{(1)},\dots ,x_j^{(n)}) \end{eqnarray*}$ , was weißt du jetzt über die Komponentenfolgen?

18.07.2014, 10:24

Yobob

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Nein es geht um die Menge $\begin{eqnarray*} \{x \in [0,1] : x_1 + ... + x_n = 1\} \end{eqnarray*}$ .

Dass $\begin{eqnarray*} [0,1]^n \end{eqnarray*}$ kompakt ist, ist mir klar.

18.07.2014, 10:26

Yobob

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Edit:

$\begin{eqnarray*} \{ x \in [0,1]^n : x_1+...+x_n=1\} \end{eqnarray*}$

18.07.2014, 16:13

10001000Nick1

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Betrachte die Abbildung $\begin{eqnarray*} f: [0,1]^n\to\mathbb{R}, x=(x_1, ..., x_n)\mapsto \sum_{i=1}^n x_i \end{eqnarray*}$ . Dann brauchst du noch den Satz, dass Urbilder abgeschlossener Mengen unter stetigen Abbildungen abgeschlossen sind.

18.07.2014, 16:19

Cevas

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Du kannst die Funktion betrachten:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x_1 + ... + x_n \end{eqnarray*}$

Mach dir gedanken über die Stetigkeit dieser und dass das Urbild einer geschlossenen Menge geschlossen ist.

Die betrachtete Menge soll einfach $\begin{eqnarray*} \{ 1 \} \end{eqnarray*}$

18.07.2014, 16:21

Yobob

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Also ist die besagte Menge abgeschlossen, da {1} abgeschlossen ist und

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(1)=\{x \in [0,1]^n : x_1+...+x_n=1\} \end{eqnarray*}$

gilt?

18.07.2014, 16:24

10001000Nick1

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Kleine Korrektur:
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(\textcolor{red}{\{}1\textcolor{red}{\}})=\{x \in [0,1]^n : x_1+...+x_n=1\} \end{eqnarray*}$

18.07.2014, 16:42

Yobob

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Besten Dank!

18.07.2014, 18:16

Guppi12

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Man sollte vielleicht noch erwähnen, dass die betroffene Menge zunächst erstmal abgeschlossen relativ $\begin{eqnarray*} [0,1]^n \end{eqnarray*}$ ist. Dies impliziert dann aber natürlich sofort Abgeschlossenheit relativ $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ (falls überhaupt danach gefragt war).

Alternativ lässt man die betrachtete stetige Funktion gleich auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ starten und schneidet dann mit $\begin{eqnarray*} [0,1]^n \end{eqnarray*}$ .

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