Untergruppen finden

18.07.2014, 15:23

prowire

Untergruppen finden

Hallo!

Wie kann ich alle Untergruppen von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \times \mathbb Z_{15} \end{eqnarray*}$ finden?

18.07.2014, 15:45

RavenOnJ

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RE: Untergruppen finden
Was sind denn die Untergruppen von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{15} \end{eqnarray*}$ ? Fang mal damit an.

18.07.2014, 16:58

prowire

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Von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ dürfte das nur $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lbrace id \rbrace \end{eqnarray*}$ sein, da 3 nur 1 und 3 als Teiler hat.

Von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{15} \end{eqnarray*}$ sind es $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_5, \mathbb Z_3, \lbrace id \rbrace \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{15} \end{eqnarray*}$ , da 15 die Teiler 1,3,5,15 hat.

18.07.2014, 18:03

RavenOnJ

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OK, und wie bekommst du jetzt die Untergruppen der Produktgruppe? Vielleicht ist das dazu hilfreich.

Edit: Außerdem sollte die Tatsache hilfreich sein, dass 3 ein Teiler von 15 ist.

19.07.2014, 14:49

prowire

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Zitat:

OK, und wie bekommst du jetzt die Untergruppen der Produktgruppe?

Ich würde sagen, indem ich einfach die Kombinationen bilde, die von der Ordnung her 45 teilen und der Art, dass $\begin{eqnarray*} A \times B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ Untergruppe von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ Untergruppe von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{15} \end{eqnarray*}$ ?
Dann wären die Untergruppen gegeben durch:

Ordnung 1:
$\begin{eqnarray*} \lbrace id \rbrace \times \lbrace id \rbrace \end{eqnarray*}$

Ordnung 3:
$\begin{eqnarray*} \lbrace id \rbrace \times \mathbb Z_3, \mathbb Z_3 \times \lbrace id \rbrace \end{eqnarray*}$

Ordnung 5:
$\begin{eqnarray*} \lbrace id \rbrace \times \mathbb Z_5 \end{eqnarray*}$

Ordnung 15:
$\begin{eqnarray*} \lbrace id \rbrace \times \mathbb Z_{15}, \mathbb Z_3 \times \mathbb Z_5, \end{eqnarray*}$

Ordnung 45:
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \times \mathbb Z_{15} \end{eqnarray*}$

Nun sind das doch aber nicht alle Untergruppen, oder?

19.07.2014, 14:58

RavenOnJ

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Zitat:

Original von prowire

Zitat:

OK, und wie bekommst du jetzt die Untergruppen der Produktgruppe?

a) Du solltest noch Isomorphien berücksichtigen. Beispielsweise
$\begin{eqnarray*} \{id\}\times \mathbb Z_3\simeq \mathbb Z_3\times \{id\}\simeq \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$
Es geht übrigens hier nur darum, festzustellen, welche Untergruppen überhaupt vorkommen. Wenn also eine Untergruppe mehrmals vorkommt, dann reicht es, sie einmal zu erwähnen.

b) Wozu ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \times \mathbb Z_5 \end{eqnarray*}$ isomorph?

Zitat:

Nun sind das doch aber nicht alle Untergruppen, oder?

Nein, da fehlt was.

19.07.2014, 15:26

prowire

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Zitat:

a) Du solltest noch Isomorphien berücksichtigen

Prinzipiell okay, ja. Aber ich möchte wirklich alle Untergruppen haben, denn ich soll ein Untergruppendiagramm erstellen und muss zeigen, dass es 12 Untergruppen sind.

Zitat:

b) Wozu ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \times \mathbb Z_5 \end{eqnarray*}$ isomorph?

Zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{15} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Nein, da fehlt was.

Das ist das Problem. Ich weiß nicht wie ich den Rest finde.

19.07.2014, 15:38

RavenOnJ

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Zitat:

Original von prowire
Aber ich möchte wirklich alle Untergruppen haben, denn ich soll ein Untergruppendiagramm erstellen und muss zeigen, dass es 12 Untergruppen sind.

Dann müsstest du aber noch zur Unterscheidung die Elemente erwähnen, die zu den einzelnen Untergruppen gehören. Kritisch sind ja eigentlich nur die UGs von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{15} \end{eqnarray*}$ . Die Gruppe ist zyklisch, hat also nur zyklische Untergruppen. Mach am besten der Reihe nach die Elemente als Erzeugende durch, bis alle untergebracht sind. Nummeriere die einzelnen UGs und mach weiter wie bisher schon.

Zitat:

b) Wozu ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \times \mathbb Z_5 \end{eqnarray*}$ isomorph?

Zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{15} \end{eqnarray*}$ .

Exakt. Aber wenn du explizit die UGs hinschreiben sollst, mit Elementen, dann erwähne einfach die Isomorphie zusätzlich.

Zitat:

Nein, da fehlt was.

Das ist das Problem. Ich weiß nicht wie ich den Rest finde.

Für die isomorphen siehe oben. Ansonsten fehlt aber noch ganz prinzipiell eine, die zu keiner der bisher erwähnten isomorph ist.

19.07.2014, 16:59

prowire

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Zitat:

Mach am besten der Reihe nach die Elemente als Erzeugende durch, bis alle untergebracht sind. Nummeriere die einzelnen UGs und mach weiter wie bisher schon.

Wie meinst du das?

Es ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{15}= \lbrace 0,...,14 \rbrace \end{eqnarray*}$ .
Und es gilt doch $\begin{eqnarray*} \langle a \rangle = \lbrace a^k : k \in \mathbb Z \rbrace \end{eqnarray*}$
Dann ist:

$\begin{eqnarray*} \langle 1 \rangle =\mathbb Z_{15} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle 2 \rangle =\lbrace 1, 2, 4, 8 \rbrace \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle 3 \rangle =\lbrace 3, 6, 9, 12\rbrace \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle 4 \rangle =\lbrace 1, 4\rbrace \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle 5 \rangle =\lbrace 5, 10 \rbrace \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle 6 \rangle =\lbrace 6 \rbrace \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle 7 \rangle =\lbrace 1,4,7,13 \rbrace \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle 8 \rangle =\lbrace 1,2,4,8 \rbrace \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle 9 \rangle =\lbrace 6,9 \rbrace \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle 10 \rangle =\lbrace 10 \rbrace \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle 11 \rangle =\lbrace 1, 11 \rbrace \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle 12 \rangle =\lbrace 3,6,9,12 \rbrace \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle 13 \rangle =\lbrace 1,4,7,13 \rbrace \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle 14 \rangle =\lbrace 1,14 \rbrace \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle 15 \rangle =\lbrace 0 \rbrace \end{eqnarray*}$

Irgendwie kann das ja aber nicht stimmen, die Gruppenordnungen teilen ja nicht alle 45.

19.07.2014, 17:36

ollie3

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hallo,
da ravenonJ nicht da ist, übernehme ich kurz:
deine aufzählung mit den erzeugenden elementen ist übrigens falsch, aber
es war ja sowieso klar, das Z_15 als echte untergruppen nur Z_3 und Z_5 hat.
Was raven meint, was dir noch fehlt, ist eine untergruppe von Z_3*Z_15,
die die ordnung 9 hat. Was könnte das wohl sein Augenzwinkern

gruss ollie3

19.07.2014, 17:55

prowire

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Ah, ich habe

Ordnung 9:
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \times \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$

vergessen.

Fehlen aber immernoch 4 echte Untergruppen. verwirrt

19.07.2014, 20:57

RavenOnJ

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Zitat:

Original von prowire

Zitat:

Mach am besten der Reihe nach die Elemente als Erzeugende durch, bis alle untergebracht sind. Nummeriere die einzelnen UGs und mach weiter wie bisher schon.

Dein Fehler liegt darin, dass du nicht den Restklassenring $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{15} \end{eqnarray*}$ unter Addition betrachtet hast. Mit der Multiplikation als Gruppenoperation ist der Ring keine Gruppe.

20.07.2014, 11:54

prowire

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Okay!

Dann erhalte ich nun korrekt:

$\begin{eqnarray*} \langle 1 \rangle =\mathbb Z_{15} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle 2 \rangle =\mathbb Z_{15} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle 3 \rangle =\lbrace 3, 6, 9, 12, 0\rbrace \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle 4 \rangle =\mathbb Z_{15} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle 5 \rangle =\lbrace 5, 10,0 \rbrace \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle 6 \rangle =\lbrace 6, 12,3,9,0\rbrace \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle 7 \rangle =\mathbb Z_{15} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle 8 \rangle =\mathbb Z_{15} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle 9 \rangle =\lbrace 9,3,12,6,0 \rbrace \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle 10 \rangle =\lbrace 10 ,5,0\rbrace \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle 11 \rangle =\mathbb Z_{15} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle 12 \rangle =\lbrace 12,9,6,3,0 \rbrace \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle 13 \rangle =\mathbb Z_{15} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle 14 \rangle =\mathbb Z_{15} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle 15 \rangle =\lbrace 0 \rbrace \end{eqnarray*}$

Somit sind alle Untergruppen gegeben durch:

Ordnung 1:
$\begin{eqnarray*} \lbrace 0 \rbrace \times \lbrace 0 \rbrace \end{eqnarray*}$

Ordnung 3:
$\begin{eqnarray*} \lbrace 0 \rbrace \times \mathbb Z_3, \mathbb Z_3 \times \lbrace 0 \rbrace,\langle 5\rangle \times \lbrace 0 \rbrace, \lbrace 0 \rbrace \times \langle 5\rangle \end{eqnarray*}$

Ordnung 5:
$\begin{eqnarray*} \lbrace 0 \rbrace \times \mathbb Z_5, \lbrace 0 \rbrace \times \langle 6 \rangle \end{eqnarray*}$

Ordnung 9:
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \times \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$

Ordnung 15:
$\begin{eqnarray*} \lbrace 0 \rbrace \times \mathbb Z_{15}, \mathbb Z_3 \times \mathbb Z_5, \mathbb Z_3 \times \langle 6 \rangle \end{eqnarray*}$

Ordnung 45:
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \times \mathbb Z_{15} \end{eqnarray*}$

Ist das nun korrekt?
Mich verwirrt noch, dass ich gelesen habe, dass es nur eine Gruppe der Ordnung 5 und dafür 4 der Ordnung 15 geben müsste.

20.07.2014, 12:07

prowire

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Bei Ordnung 9 habe ich $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \times \langle 5 \rangle \end{eqnarray*}$ vergessen.

20.07.2014, 14:02

ollie3

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hallo,
also hier ist der wurm drin: also zunächst einmal ist <5>= Z_3 und <6>=Z_5, das erklärt schonmal,
das es nur eine untergruppe der ordung 5 gibt. Und das komplizierte an der aufgaba ist glaube
ich, das Z_3 * Z_15 sowohl zu Z_3 * Z_3 * Z_5 als auch zu Z_3*Z_5 * Z_3 isomorph ist, so dass man
zu den 12 untergruppen kommt.
gruss ollie3

20.07.2014, 14:34

prowire

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Also, mein Ziel ist es eigentlich zu bestimmen, wieviele Zwischenkörper eine Galoiserweiterung vom Grad 45 höchstens haben kann.

Dafür betrachte ich eine Gruppe G mit Ordnung 45 und stelle fest, dass G bis auf Isomorphie nur $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{45} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{3} \times \mathbb Z_{15} \end{eqnarray*}$ sein kann.

Jetzt möchte ich per Hauptsatz die Anzahl der Zwischenkörper bestimmen.

1. Fall: $\begin{eqnarray*} G=\mathbb Z_{45} \end{eqnarray*}$
Dann haben wir 4 echte Untergruppen und somit (wenn ich den Hauptsatz richtig verstanden habe) 4 echte Zwischenkörper.

2. Fall: $\begin{eqnarray*} G=\mathbb Z_{3} \times \mathbb Z_{15} \end{eqnarray*}$
Hier wollte ich nun gleich vorgehen und die Untergruppen von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{3} \times \mathbb Z_{15} \end{eqnarray*}$ zählen.
Hierfür brauche ich doch aber alle Untergruppen, nicht nur alle Isomorphietypen. Und dann wäre $\begin{eqnarray*} \lbrace 0,5,10 \rbrace =\langle 5 \rangle \neq \lbrace 0,1,2 \rbrace = \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ .

Um die Anzahl der Untergruppen zu bestimmen, reicht es doch sich um $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{3} \times \mathbb Z_{15} \end{eqnarray*}$ zu kümmern, denn wie du sagst sind die anderen Möglichkeiten $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \times \mathbb Z_3 \times \mathbb Z_5 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \times \mathbb Z_5 \times \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ dazu isomorph und hätten gleichviele Untergruppen.

Wo ist jetzt der Fehler bzw. wie kommen wir zum Ziel?

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