Basis vom Bild. richtig so?

19.07.2014, 14:05

akamanston

Basis vom Bild. richtig so?

hi,
nur kurz
es geht um das bestimmen der "basis des bildes U von A"

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & -2& 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 2 &-4 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ich mache das immer folgendermaßen.
ich tansponiere A. also $\begin{eqnarray*} A^{T} =\begin{pmatrix}1 & -1& 2 \\ -2&2&-4\\1&0&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das gauße ich jetzt so weit es geht in zeilenstufen form.

so erhalte ich $\begin{eqnarray*} A^{T} =\begin{pmatrix}1 & -1& 2 \\ 0&0&0\\0&1&-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die zeilenvektoren bilden nun die basis des bildes?
das ist auch wohl nur eine möglichkeit.
aber in der musterlösung ist die basis des bildes $\begin{eqnarray*} {\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} {\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\0 \end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$ .

ich versuche die ganze zeit darauf zu kommen, aber ich komm nicht auf die zwei vektoren. deshalb zweifle ich langsam das meine vorgehensweise richtig ist Big Laugh

kann mir jemand helfen, das sollte doch kein ding sein

19.07.2014, 14:08

bijektion

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Warum Transponierst du überhaupt? Berechne doch erstmal $\begin{eqnarray*} A\cdot e_1, A\cdot e_2, A\cdot e_3 \end{eqnarray*}$ .

19.07.2014, 14:15

akamanston

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dann erhalte ich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0\\2 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ich transponiere, weil ich mir eigentlich ganz sicher war, dass wir das so machen. deshalb bin ich jetzt aber mal richtig irritiert

19.07.2014, 14:45

bijektion

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Zitat:

Zeig mir mal wie du darauf kommst.

Da Zeilen- gleich Spaltenrang gilt, ist Transponieren nicht nötig.

19.07.2014, 14:49

akamanston

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grrr

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-2\\2 \\-4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ok das sollte es sein.

19.07.2014, 15:04

bijektion

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Jetzt musst du nur noch eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathrm{span}\left(\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\2 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix}-2\\2 \\-4 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}\right) \end{eqnarray*}$ bestimmen.

19.07.2014, 15:37

akamanston

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d.h.?

ich wähle mir einfach zwei vektoren aus? wieso zwei?
was für ein sinn die multiplikation mit den einheitsvektoren hat, versteh ich nicht? man kann ja einfach die spaltenvektoren ablesen?

ich will dennoch bei meinem weg mit dem transponieren blieben. wir haben das alle gemeinsam immer so gemacht und das möchte ich beibehalten. was habe ich falsch gemacht? so wie ich es gemacht habe muss es doch auch stimmen? ich werd noch verrückt

außerdem ist die basis aus der musterlösung $\begin{eqnarray*} {\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} {\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\0 \end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$ wieder nirgends zu sehen.

20.07.2014, 10:20

bijektion

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Zitat:

ich wähle mir einfach zwei vektoren aus? wieso zwei?

Machst du nicht, das liegt natürlich daran, welchen Rang die Matrix hat.

Zitat:

was für ein sinn die multiplikation mit den einheitsvektoren hat, versteh ich nicht? man kann ja einfach die spaltenvektoren ablesen?

Ist so aber schöner, und man könnte eigentlich auch Vektoren aus einer anderen Basis nehmen.

Zitat:

ich will dennoch bei meinem weg mit dem transponieren blieben. wir haben das alle gemeinsam immer so gemacht und das möchte ich beibehalten. was habe ich falsch gemacht?

Was genau ist denn gefragt?

Zitat:

außerdem ist die basis aus der musterlösung $\begin{eqnarray*} {\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} {\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\0 \end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$ wieder nirgends zu sehen.

Hast du jetzt auch schonmal den UVR bestimmt?

20.07.2014, 10:40

akamanston

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die basis des bildes U von A.

und ich will es über die transponierte machen.

danach haben wir die transponierte weitgehend in zeilenstufen form gebracht und die zeilen vektoren rausgelesen.
nur stimmen die vektoren bei mir nicht mit der lösun überein. das irritiert mich total

20.07.2014, 10:42

Iorek

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Zitat:

Original von bijektion
Was genau ist denn gefragt?

Es soll wie im ersten Post steht, eine Basis des Bildes von A bzw. der induzierten linearen Abbildung bestimmt werden. Und da ist die Multiplikation mit den Standardbasisvektoren ein unnötiger Schritt, diese liefern einem ja genau die Spalten der Matrix, die man dann üblicherweise zeilenweise in eine Matrix für den Gaußalgorithmus schreibt, also hat man den Schritt des Transponierens nur durch einen weiteren, unnötigen Schritt aufgebläht. Direkt die transponierte Matrix zu nehmen ist also korrekt.

Was die Musterlösung angeht, so vermute ich da einen Fehler. Auf Anhieb sehe ich keine Möglichkeit, wie man auf diese Darstellung kommt (und: da eine Basis i.A. nicht eindeutig ist, wäre auch sonst deine Lösung korrekt).

20.07.2014, 10:48

akamanston

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ohgott, danke. ich dachte schon ich wäre im falschen film. das hat mich schon ziemlich aus der bahn geworfen.

die musterlösung sieht ja so aus: $\begin{eqnarray*} {\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} {\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\0 \end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$

und meine ist so: $\begin{eqnarray*} {\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\2 \end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} {\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\-1 \end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$

kann man das denn niht überprüfen ob die basis richtig ist?

20.07.2014, 10:51

Iorek

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Wenn du die Umformungen richtig durchgeführt hast und die verbleibenden Vektoren linear unabhängig sind, dann hast du eine korrekte Basis. Die Musterlösung ist übrigens definitiv falsch, $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ liegt nämlich nicht einmal im Bild der Abbildung.

20.07.2014, 10:54

akamanston

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okok, danke dir. mir ist jetzt ein stern vom herzen gefallen. vlt haste den gehört Big Laugh

das ist schon verrückt das ich null auf fehlerjagd in LA bin Big Laugh

- die welt ist verrückt.
also danke euch für die mühe- gutes gefühl=)

edit: dimension des bildes ist 2 oder?

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