Bewegung Affinität Unterschied

19.07.2014, 17:26

akamanston

Bewegung Affinität Unterschied

hi,

es geht um Bewegung und Affinität. Wieso stehen die begriffe überhaupt im zusammenhang?

wenn die matrix einer abbildung determinante +1 oder -1 hat, dann ist diese abbildung automatisch eine bewegung? welche genau es ist, kann man noch nicht sagen, das hängt dann von der determinante und fixpunktmenge ab.
was hat es mit der orthogonalität der matrix an sich? ist das neben der determinante ein weiteres kriterium für bewegung oder nicht?

heißt es dann auch, dass die abbildung eine affine ist wenn die determinante ungleich +1 und -1 ist???

19.07.2014, 17:38

Leopold

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An der Determinante kannst du eine Bewegung nicht erkennen. Die Abbildung

$\begin{eqnarray*} x \mapsto \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot x \end{eqnarray*}$

ist sicher keine Bewegung. Sie bildet zum Beispiel das Einheitsquadrat auf das Parallelogramm $\begin{eqnarray*} ABCD \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} A =( 0,0), \ B = (1,0), \ C = (3,1), \ D = (2,1) \end{eqnarray*}$

ab. Wohl ist es aber richtig, daß Bewegungen (zu ihnen gehören die orthogonalen Matrizen) immer $\begin{eqnarray*} \pm 1 \end{eqnarray*}$ als Determinante besitzen.

19.07.2014, 17:45

akamanston

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ok, dann haben wir das schon mal entschlüsselt.
orthogonal + det= $\begin{eqnarray*} \pm 1 \end{eqnarray*}$ beschreiben bewegungen. das ist schon mal eine tolle erkenntnis.

nun weiter. wenn ich eine matrix
$\begin{eqnarray*} x \mapsto \begin{pmatrix} a & -b \\b & a \end{pmatrix} \cdot x \end{eqnarray*}$
oder $\begin{eqnarray*} x \mapsto \begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix} \cdot x \end{eqnarray*}$
sind sozusagen spezielle fälle. diese matrzen beschreiben automatsich eine drehung bzw spiegelung an einer geraden.

richtig so?

19.07.2014, 17:51

Leopold

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Zitat:

Original von akamanston
orthogonal + det= $\begin{eqnarray*} \pm 1 \end{eqnarray*}$ beschreiben bewegungen.

Die Kombination ist irritierend. Eine orthogonale Matrix hat automatisch $\begin{eqnarray*} \pm 1 \end{eqnarray*}$ als Determinante.

Zitat:

Original von akamanston
wenn ich eine matrix
$\begin{eqnarray*} x \mapsto \begin{pmatrix} a & -b \\b & a \end{pmatrix} \cdot x \end{eqnarray*}$
oder $\begin{eqnarray*} x \mapsto \begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix} \cdot x \end{eqnarray*}$
sind sozusagen spezielle fälle. diese matrzen beschreiben automatsich eine drehung bzw spiegelung an einer geraden.

Wenn $\begin{eqnarray*} a^2+b^2 = 1 \end{eqnarray*}$ ist, dann ja.

19.07.2014, 17:58

akamanston

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Zitat:

Original von Leopold
Wenn $\begin{eqnarray*} a^2+b^2 = 1 \end{eqnarray*}$ ist, dann ja.

hm das sehe ich zum ersten mal.
kann es sein das unsere matrizen auf orthogonale eingeschränkt sind? würde das auch ausreichen?

dann noch was. es geht um äquivalente aussagen. das wäre dann auch gleiche eine überleitung zu affinität.

die matrix A kein vollen rang <-> keine affinität
A hat EW 1 <-> Rang(=2) voll (wir beschränken uns auf 2x2-matrizen)

19.07.2014, 18:13

Leopold

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Du erkennst eine orthogonale Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ daran, daß das Produkt von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit ihrer Transponierten $\begin{eqnarray*} A^{\top} \end{eqnarray*}$ die Einheitsmatrix $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ergibt:

$\begin{eqnarray*} A \cdot A^{\top} = E \end{eqnarray*}$

Das ist dasselbe, wie daß die Spalten (Zeilen) der Matrix eine Orthonormalbasis bilden. Bei deinen beiden Matrizen stehen die Spaltenvektoren zwar senkrecht aufeinander, sind aber nicht notwendigerweise normiert.

Zitat:

Original von akamanston
die matrix A kein vollen rang <-> keine affinität
A hat EW 1 <-> Rang(=2) voll (wir beschränken uns auf 2x2-matrizen)

Dieser Telegrammstil ist unverständlich.

19.07.2014, 18:21

akamanston

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hm

dann möchte ich mal hier ein beispiel posten, das irgendwie alles erarbeitete hinfällig macht.

$\begin{eqnarray*} x \mapsto \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \sqrt{3} & 1 \\ 1 & -\sqrt{3} \end{pmatrix} \cdot x+\begin{pmatrix} 0 \\4 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die gegebene matrix muss doch der form nach eine spiegelung an einer geraden sein?
aber wieso ist es dann doch eien gleitspiegelung?

-sie ist orthogonal (skalarprodukt der spaltenvektoren ist 0)
-determinante = -1 (also spiegelung oder gleitspiegelung)

durch die form der matrix dachte ich mir, dass ich gleitspiegelung ausschließen kann.

welche rolle spielt denn hier die länge der spaltenvektoren? weil nach der lösung scheint das ebenfalls irgend ein nötiges kriterium neben orthogonalität zu sein.

19.07.2014, 18:27

Leopold

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Vielleicht habe ich mich vorhin nicht ganz korrekt ausgedrückt. Neben den orthogonalen Abbildungen gehören auch die Translationen zu den Bewegungen. Und du darfst natürlich bei deiner Abbildung den hintern Teil nicht unterschlagen.

19.07.2014, 18:31

akamanston

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Zitat:

Original von LeopoldNeben den orthogonalen Abbildungen gehören auch die Translationen zu den Bewegungen. Und du darfst natürlich bei deiner Abbildung den hintern Teil nicht unterschlagen.

versteh ich nicht.

Zitat:

Original von LeopoldUnd du darfst natürlich bei deiner Abbildung den hintern Teil nicht unterschlagen.

ja dieser teil, das habe ich schon bemerkt, ist ziemlich wichtig, weil das irgendwie in bestimmten fällen ein eigenvektor ist oder so, aber wie wann wo, ich weiß es nicht.

19.07.2014, 18:40

Leopold

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Zitat:

Original von akamanston
$\begin{eqnarray*} x \mapsto \color{blue} \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \sqrt{3} & 1 \\ 1 & -\sqrt{3} \end{pmatrix} \cdot x \color{red} +\begin{pmatrix} 0 \\4 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun, du schickst doch der Spiegelung eine Translation hinterher.

19.07.2014, 18:54

akamanston

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hm okay

und nochmals

welche rolle spielt denn hier die länge der spaltenvektoren? weil nach der lösung scheint das ebenfalls irgend ein nötiges kriterium neben orthogonalität zu sein.

und
ja dieser hintere teil, das habe ich schon bemerkt, ist ziemlich wichtig, weil das irgendwie in bestimmten fällen ein eigenvektor ist oder so, aber wie wann wo, ich weiß es nicht.

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