Ausgedünnter Poissonprozess (Markovsche Ketten)

20.07.2014, 09:46	MrsIpp	Auf diesen Beitrag antworten »
Ausgedünnter Poissonprozess (Markovsche Ketten) Meine Frage: Guten Morgen, Ich lerne gerade für die Markov-Klausur und habe eine Frage für folgende Aufgabe: "Um sich selbst abzusichern hat das Versicherungsunternehmen KDirekt eine Rückversicherung bei BadenRück abgeschlossen. Bei Schäden über 1000? muss KDirekt also nur 1000? bezahlen, den Rest übernimmt BadenRück. Wir nehmen an, dass die Eingänge der Schadenszahlungen an KDirekt mittels eines PoissonProzesses mit Parameter $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ >0 modelliert weerden. DIe Schadenshöhen X seien unabhängig identisch exponentialverteilt mit Parameter $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ . a) Bestimmen Sie die Verteilung der Anzahl der Schadenseingänge bei der BadenRück im Zeitintervall [0,t] die durch KDirekt eingehen. Meine Ideen: Okay, es ist ja gegeben dass X exponentialverteilt ist. Also gilt für die Wsk. dass ein Schaden höher als 1000? ist: $\begin{eqnarray} p=P(X>1000)=e^{-\mu\cdot 1000} \end{eqnarray}$ In diesem Fall muss BadenRück zahlen. Das ist noch klar. Nur jetzt steht in der Lsg: Bei der Anzahl der Schadenseingänge bei BadenRück handelt es sich um einen ausgedünnten Poissonprozess mit Intensität: $\begin{eqnarray} \lambda p=\lambda e^{-\mu\cdot 1000} \end{eqnarray}$ Den Teil versteh ich schon nichtmehr so. Ich finde irgendwie keine verständliche Erklärung für "ausgedünnter Poissonprozess"...Wie kommt dann die Formel zustande? Vielen vielen Dank schonmal! Lg
20.07.2014, 10:33	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ergibt sich einfach durch Rechnung: Wenn $\begin{align} Y \end{align}$ eine poisson-verteilte Anzahl (Parameter $\begin{align} \lambda \end{align}$ ) von Elementen ist, und jedes einzelne dieser Elemente unabhängig voneinander mit Wahrscheinlichkeit $\begin{align} p \end{align}$ ausgewählt wird, dann ist die Anzahl $\begin{align} Z \end{align}$ der ausgewählten Elemente wieder poisson-verteilt, diesmal aber mit Parameter $\begin{align} p\lambda \end{align}$ . Beweis: $\begin{align} P(Z=k) &= \sum_{n=k}^{\infty} P(Z=k,Y=n) = \sum_{n=k}^{\infty} P(Z=k \mid Y=n)\cdot P(Y=n) = \sum_{n=k}^{\infty} \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\cdot \frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda} \\ &= \frac{(p\lambda)^k}{k!} e^{-\lambda} \cdot \sum_{n=k}^{\infty} \frac{1}{(n-k)!} ((1-p)\lambda)^{n-k} = \frac{(p\lambda)^k}{k!} e^{-\lambda} \cdot e^{(1-p)\lambda} = \frac{(p\lambda)^k}{k!} e^{-p\lambda} \end{align}$ .

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