Parameterabhängendes Integral

20.07.2014, 16:16

hjo

Parameterabhängendes Integral

Hallo, ich habe eine kleines Problem

Ich bin auf folgendes Problem gestossen:

$\begin{eqnarray*} \int_a^{2a} \! x^2 e^{-x^2} \, dx \end{eqnarray*}$

Jetzt ist gefragt für welche a >= 0, das Integral am grössten, resp kleinsten ist.

Ich hätte jetzt einfach ganz normal den Hauptsatz angewendet, da ich nach a ableiten und dann = 0 setzen wollte.

Aber irgendwie ist das nicht ganz richtig. Ich weiss aber nicht wieso ich dies nicht so ableiten darf?

herzlichen Dank

Hjo

20.07.2014, 16:28

Stefan03

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

warum sollte das nicht so gehen? Ich würds auch so machen...

20.07.2014, 16:48

hjo

Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich $\begin{eqnarray*} \int_a^{2a} \! x^2 e^{-x^2} \, dx \end{eqnarray*}$ nach a ableite,
bekomme ich $\begin{eqnarray*} 8a^{2} e^{-4a^2} - a^2e^{-a^2} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

Danke

20.07.2014, 16:51

Stefan03

Auf diesen Beitrag antworten »

Was bekomsmt du denn für ein Integral heraus? Also erstmal ohne Ableiten...

20.07.2014, 16:58

hjo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Stefan03
Was bekomsmt du denn für ein Integral heraus? Also erstmal ohne Ableiten...

Kann man nicht $\begin{eqnarray*} <br /> <br /> f(2a) *2 - f(a) *1 \end{eqnarray*}$
und mit $\begin{eqnarray*} <br /> f=x^2 e^{-x^2} \end{eqnarray*}$

20.07.2014, 17:06

Stefan03

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

warum f(2a) mal 2?!?

Wenn, dann F'(2a)=f(2a)

20.07.2014, 17:10

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist schon richtig, was hjo macht - wenn er es nicht in einem so fürchterlich fragmentarischen Stil darlegen würde. Man betrachtet irgendeine Stammfunktion $\begin{align*} F \end{align*}$ von $\begin{align*} f(x) = x^2 e^{-x^2} \end{align*}$ , dann sind ja laut Aufgabenstellung die Extremstellen der Funktion

$\begin{align*} g(a) = F(2a)-F(a) \end{align*}$

gesucht. Ableiten von $\begin{align*} g \end{align*}$ erbringt nach Kettenregel

$\begin{align*} g'(a) = 2F'(2a)-F'(a) = 2f(2a)-f(a) \end{align*}$ .

P.S.: Bin wieder weg. Wink

20.07.2014, 17:10

hjo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Stefan03
Hi,

warum f(2a) mal 2?!?

Wenn, dann F'(2a)=f(2a)

Weil obere Grenze 2a abgeleitet nach a 2 gibt.

Mach ich was falsch?

20.07.2014, 17:12

Stefan03

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah stimmt, die Kettenregel habe ich übersehen...

Jetzt, wo es HAL aufgeschrieben hat, seh ich es auch smile

Hast schon Recht, hjo

20.07.2014, 17:18

hjo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin immer noch verwirrt, weil wenn ich das jetzt einfach = 0 setze komme ich nicht auf das richtige Resultat.

20.07.2014, 17:30

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Da Stefan03 nun doch gerade weg ist ...

Eigentlich ist die Lösung von $\begin{align*} g'(a)=0 \end{align*}$ unproblematisch und führt zu den drei reellen Lösungen $\begin{align*} 0 \end{align*}$ und $\begin{align*} \pm \sqrt{\ln(2)} \end{align*}$ . Der Wert $\begin{align*} -\sqrt{\ln(2)} \end{align*}$ scheidet aus, da es hier nur um $\begin{align*} a\geq 0 \end{align*}$ geht.

20.07.2014, 17:40

hjo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach Gott bin ich blöde, ich habe meine Lösungen nicht lesen können. LOL Hammer

Ist alles richtig, muss einen Fehler beim =0 setzen gemacht haben. Diesen werde ich schon finden. Danke euch beiden smile

Neue Frage »

Antworten »

Parameterabhängendes Integral

Verwandte Themen