Differentialgleichung 2.Ordnung

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15.08.2004, 01:05	Soap	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung 2.Ordnung Wie lautet die allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichung? $\begin{eqnarray} t^2\frac{d^2x}{dt^2}+t\frac{dx}{dt}-x=3t^2 \end{eqnarray}$ Homogen wäre es nicht so schwierig, aber so...
15.08.2004, 10:59	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
t²x''+tx'-x = 3t² Substituiere x=tz, x'=z+tz', x''=2z'+tz''. Dann erhältst du eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung in w=z' (Reduktionsmethode von d'Alembert).
15.08.2004, 12:03	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du eine inhomogen DGL wie deine hast, mit dem Unterschied,dass das x auf der linken Gleichungseite positiv mit einem beliebigen konstanten Faktor ist, kann man auch die neue Variable $\begin{eqnarray} t=e^z \end{eqnarray}$ einführen mit: $\begin{eqnarray} \frac{dx}{dt}= \frac{dx}{dz}\frac{dz}{dt}=\frac{1}{t}* \frac{dx}{dz} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{d^2x}{dt^2}= \frac{d}{dt}(\frac{1}{t}\frac{dx}{dz})=\frac{1}{t^2}( \frac{d^2x}{dz^2}-\frac{dx}{dz}) \end{eqnarray}$ Hiermit geht die Ausgangs-DGL in eine mit Konstanten Koeffizienten über, allerdings in die 2. Ordnung, deshalb ist in deinem Fall wohl die Substitution von Leopold wesentlich einfacher (da das x negativ ist) Gruß Jan EDIT: Latex-Code gefixed (therisen)*
15.08.2004, 15:23	Soap	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Leopold, was ich nach deiner Substitution rausbekomme ist: tz''+3z'=3 Das ist aber weder homogen, noch 1.Ordnung, und ich weiss auch nicht wie man das löst.
15.08.2004, 15:28	Soap	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Harry Done, x ist aber auf der linken Seite mit negativem Koeffizienten, oder nicht?
15.08.2004, 15:54	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ich geschrieben habe sollte nur eine Anmerkung für dich sein, für den Fall,dass du mal eine DGL hast, bei der das x positiv ist. Wie ich schon geschrieben habe, ist diese Substitution hier zu aufwendig,würde aber die Gleichung trotzdem auf konstante Koeffizienten transformieren. Da t=exp(z) unabhängig vom Vorzeichen ist. Um deine aktuelle DGL (nach der Transformation x=t*z) also tz''+3z'=3 zu Lösen guck dir nochmal die erste Antwort von Leopold an, besonders z'=w. Gruß Jan
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15.08.2004, 16:07	Soap	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit z'=w folgt: tw'+ 3w = 3 o.k. jetzt ist es 1.Ordnung, aber ne Lsg?
15.08.2004, 16:31	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
Also deine DGL ist w'+3/tw=3/t dafür gibt es eine allgemeine Lösungsformel: $\begin{eqnarray} we^{\int_{}^{}~3/t~dt}=\int_{}^{}~e^{\int_{}^{}~3/t~dt}3/t~dt+C \end{eqnarray*}$ Denk daran, wenn du z zurücksubstituierst, dass bei der Integration eine Konstante entsteht, die Lösung der Ausgangs-DGL enthält also zwei Konstante. Gruß Jan
15.08.2004, 18:03	Soap	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht hübsch aus, und sowas ähnliches steht auch im Bronstein, aber was ich rausbekomme ist: w=3ln(t)+c Das scheint aber nicht zur DGL mit w zu passen: w'+3/tw=3/t 3/t+3/t(3ln(t)+c)=3/t Daraus würde folgen: 3ln(t)+c=0 ??? :P Hab ich was falsch gemacht?
15.08.2004, 18:12	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hast du irgendwo einen Fehler gemacht. Ich schreib dir die Lösungsformel nochmal vereinfacht auf, vielleicht liegt darin dein Fehler. $\begin{eqnarray} we^{3ln(t)}=\int_{}^{}~e^{3ln(t)}3/t~dt+C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} wt^3=\int_{}^{}~3t^3/t~dt+C \end{eqnarray}$ Damit sollte es gehen. Gruß Jan
15.08.2004, 19:08	Soap	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Harry Done und auch Leopold, endlich hab ich es: $\begin{eqnarray} x(t)=t^2+at+bt^{-1} \end{eqnarray}$ Ne Frage hab ich aber noch: Wie funktioniert die D'Alembertesche Reduktion allgemein - im Bronstein steht nix, oder find ich es nicht?

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