Matrix - Isomorph

21.07.2014, 16:21

akamanston

Matrix - Isomorph

2 weitere probleme:

wieso wird aus der matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a+b+c+d & a+b+c+d \\ c+d&c+d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
diese hier
$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 1&1&1&1 \\ 1&1&1&1 \\ 0&0&1&1\\0&0&1&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und dann noch was ähnliches.

ich soll zeigen das A ähnlcih zu C ist.
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ich dachte ich zeige erstmal sämtliche eigenschaften wie,
-gleicher rang
-ch. polynom
-gl determinante

aber bei gleicher jordan normalform und minimalpolynom weiß ich nicht wies geht.
aber das ganze ist ja auch hinfällig(oder?)wenn ich zeige, dass
$\begin{eqnarray*} M\cdot A=C\cdot M \end{eqnarray*}$ aber achtung hier habe ich ein noch schlimmeres problem.

wenn ich das alles ausrechne dann erhalte ich die matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a&b\\a+c&b+d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&a+b\\c&c+d\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
nun weiß ich nicht wie ich der werte ausrechne Big Laugh

er ergibt sich
a=a
a+b=b
c=a+c
c+d=b+d

ich kann mir einzig a=0 erschließen. den rest kann ich frei wählen? aber nur wenn ich für den rest 1 nehme stimmt es. wieso?

21.07.2014, 16:25

bijektion

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Das erste verstehe ich nicht.

Zitat:

wenn ich zeige, dass $\begin{eqnarray*} M\cdot A=C\cdot M \end{eqnarray*}$ aber achtung hier habe ich ein noch schlimmeres problem

Was ist $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ? Du musst doch nur eine Matrix $\begin{eqnarray*} P\in GL_2(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ angeben, für die $\begin{eqnarray*} A=P^{-1}\cdot B\cdot P \end{eqnarray*}$ gilt.

21.07.2014, 16:33

akamanston

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$\begin{eqnarray*} M\cdot A=B\cdot M \end{eqnarray*}$

EDIT:

dein $\begin{eqnarray*} A=P^{-1}\cdot B\cdot P \end{eqnarray*}$ ist ja das gleiche wie bei mir. halt P=M.
und genau die matrix P suche ich ja. aber ich komme ja mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a&b\\a+c&b+d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&a+b\\c&c+d\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nicht klar.

21.07.2014, 17:25

bijektion

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Warum nicht? Dann folgen doch die Gleichungen:
i) $\begin{eqnarray*} a=a \end{eqnarray*}$
ii) $\begin{eqnarray*} b=a+b \end{eqnarray*}$
iii) $\begin{eqnarray*} a+c=c \end{eqnarray*}$
iv) $\begin{eqnarray*} b+d=c+d \end{eqnarray*}$ .

Das ist doch leicht zu lösen.

21.07.2014, 17:45

akamanston

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naja

i) $\begin{eqnarray*} a=a \end{eqnarray*}$
ii) $\begin{eqnarray*} 0=a \end{eqnarray*}$
iii) $\begin{eqnarray*} c=c \end{eqnarray*}$
iv) $\begin{eqnarray*} b=c \end{eqnarray*}$
und
iv) $\begin{eqnarray*} d=d \end{eqnarray*}$
und nun^^

21.07.2014, 17:48

bijektion

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Kannst du doch einfach frei wählen, und das möglichst leicht: $\begin{eqnarray*} a=0,b=1=c,d=0 \end{eqnarray*}$ .

21.07.2014, 17:56

akamanston

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ok, das ist nun klar ich habe MA=AM angenommen, deshalb hat es nicht gestimmt.

nun zum ersten teil
das meine ich
wie kommt man von der 2x2 matrix auf die 4x4
[attach]34937[/attach]

21.07.2014, 18:53

RavenOnJ

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Zitat:

Original von akamanston
ok, das ist nun klar ich habe MA=AM angenommen, deshalb hat es nicht gestimmt.

nun zum ersten teil
das meine ich
wie kommt man von der 2x2 matrix auf die 4x4
[attach]34937[/attach]

Dann setz doch mal den Vektor $\begin{eqnarray*} (a,b,c,d)^T \end{eqnarray*}$ in die Definition von g ein. Es wird der 4-dimensionale Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2\times 2} \end{eqnarray*}$ auf den 4-dimensionalen Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{4} \end{eqnarray*}$ abgebildet. Die Isomorphie folgt aus den Vektorraumeigenschaften.

21.07.2014, 18:57

akamanston

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hoffentlich meinst du das was ich jetzt mache, weil das hochT verwirrt mich.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a+b+c+d\\ a+b+c+d\\c+d\\c+d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
das ist doch mist

21.07.2014, 19:03

RavenOnJ

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das "hochT" war nur die Transposition des Zeilenvektors, ist dir die Notation nicht bekannt? Ansonsten kannst du jetzt die identischen Ausdrücke sehen, die bei der 1. Abbildung und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ entstehen.

21.07.2014, 19:07

akamanston

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Zitat:

Ansonsten kannst du jetzt die identischen Ausdrücke sehen, die bei der 1. Abbildung und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ entstehen.

ich sehs nicht.

anfangs war es eine 2x2 matrix(1)
dann eine 4x4 (2)
und jetzt soll ich mit einem vektor im R4 iwas erkennen(3)
ich seh keinen zusammenhang. einzig zwischen 1 und 3 kann ich etwas erahnen, aber nicht erklären

21.07.2014, 20:13

RavenOnJ

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Ich finde den Satz in der Aufgabe "Die lineare Abbildung ... ist dann isomorph zu der linearen Abbildung" etwas unglücklich. Bei Isomorphie geht es um zwei algebraische Strukturen, die in einem gewissen Sinne "gleich" sind, nicht um die Gleichartigkeit von zwei Abbildungen. D.h. es gibt einen Isomorphismus zwischen diesen Strukturen (hier den beiden Vektorräumen $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2\times 2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{4} \end{eqnarray*}$ ), den ich dem folgenden Diagramm mal $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ genannt habe. Insofern sind diese Vektorräume isomorph, weil $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ bijektiv und ein Homomorphismus ist:
$\begin{eqnarray*} \phi:\mathbb R^{2\times 2}\to \mathbb R^{4},\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}\mapsto (a,b,c,d) \end{eqnarray*}$
Die beiden Abbildungen kann man in ein kommutatives Diagramm einbringen, die Abbildung zwischen den $\begin{eqnarray*} {2\times 2} \end{eqnarray*}$ -Matrizen nenne ich mal $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \begin{xy} \xymatrix{\mathbb R^{2\times 2} \ar[rr]^f\ar[dd]_\phi & &\mathbb R^{2\times 2}\ar[dd]^\phi \\ \\ \mathbb R^{4} \ar[rr]_g && \mathbb R^{4} }\end{xy} \end{eqnarray*}$

22.07.2014, 01:17

akamanston

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bei allem respekt. deine mühe weiß ich zu schätzen, aber was soll ich denn aus dem diagram erkennen?
aus dem R2 wird R4.

investier hier auch keine weitere mühe mehr. diesen thread/das thema leg ich mal offiziell ad acta.

22.07.2014, 07:22

RavenOnJ

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Es ging mir eigentlich nur um den falschen Gebrauch des Attributs "isomorph" in der Aufgabe. Die Grafik war nur eine Erläuterung.

22.07.2014, 08:28

bijektion

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Zitat:

investier hier auch keine weitere mühe mehr. diesen thread/das thema leg ich mal offiziell ad acta.

Wie eigentlich jeden Thread? Konzentrier dich erstmal auf eine Aufgabe, dieser ganze Mix macht es nicht besser.

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