Cauchy Produktformel

21.07.2014, 16:37

rebel888

Cauchy Produktformel

Ich hätte eine Frage zur Cauchy-Produktformel bzw. zur Voraussetzung, dass beide Reihen absolut konvergent sein müssen um sie anzuwenden. Siehe Wikipedia Artikel dazu.
Kann man auf diese Voraussetzung verzichten, wenn beide Reihen die gleichen sind und diese Reihe konvergenz (nicht notwendiger Weise absolut konvergent ist)?
Die Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \ni x \mapsto x^2 \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist stetig. Dann müsste doch, wenn ich eine Folge $\begin{eqnarray*} \left( \sum_{i=1}^n a_i \right )_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ betrachte, die konvergent ist, gelten:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty c_n=\lim_{n\rightarrow \infty} \left( \sum_{i=1}^n a_i \right )^2= \left( \sum_{i=1}^\infty a_i \right )^2 \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} c_n = \sum_{k=1}^n {a_{k} a_{n-k}} \end{eqnarray*}$ . Oder sehe ich da was falsch?

21.07.2014, 17:36

bijektion

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Zitat:

Oder sehe ich da was falsch?

Ja. Wähle $\begin{eqnarray*} a_i:=(-1)^n\cdot \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ Wink

21.07.2014, 18:54

rebel888

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Gut, das ist ein Gegenbeispiel. Wo aber liegt der Fehler in meiner Argumentation mit der Stetigkeit usw.? Darf ich in dem Term
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow \infty} \left( \sum_{i=1}^n a_i \right )^2 \end{eqnarray*}$
das Quadrat
$\begin{eqnarray*} \left( \sum_{i=1}^n a_i \right )^2 \end{eqnarray*}$
nicht beliebig umordnen? Oder liegt der Fehler wo anders?

21.07.2014, 19:22

bijektion

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Es sollte an der Umordnung scheitern Augenzwinkern

21.07.2014, 20:54

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Ich denke das Argument mit der Stetigkeit ist schlüssig, also
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow \infty} \left( \sum_{i=1}^n a_i \right )^2= \left( \sum_{i=1}^\infty a_i \right )^2 \end{eqnarray*}$ . Letztlich beweist man ja so die Stetigkeit des Produktes.
Das nützt aber nicht viel, weil $\begin{eqnarray*} \left( \sum_{i=1}^n a_i \right )^2 \end{eqnarray*}$ nicht als $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^N c_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c_n = \sum_{k=1}^n {a_{k} a_{n-k}} \end{eqnarray*}$ darstellbar ist.

21.07.2014, 21:12

rebel888

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Stimmt, das macht ja gar keinen Sinn (auch wenn ich mich nicht mit den Indizes verschrieben hätte). Danke für die Hilfe!

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