Häufigste bzw. erwähnenswerteste Lösungsverfahren für gewöhnliche DGL's |
| 21.07.2014, 17:32 | antidote | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Häufigste bzw. erwähnenswerteste Lösungsverfahren für gewöhnliche DGL's ich arbeite gerade an einer Facharbeit über gewöhnliche (lineare) DGL's, Fokus liegt auf den wichtigsten Lösungsverfahren + anschließend ein paar physikalische Anwendungen. Da ich noch Schüler bin und mit DGLs noch nicht wahnsinnig viel mathematisch zu tun gehabt habe, dachte ich mir, ich frage hier nach, welche Lösungsverfahren für eine Facharbeit am günstigsten wären bzw. am wichtigsten. Ich würde mich über ein paar Tipps freuen! :-) schönen Abend noch! |
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| 21.07.2014, 18:00 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Häufigste bzw. erwähnenswerteste Lösungsverfahren für gewöhnliche DGL's Wenn man sich auf lineare Differentialgleichungen beschränkt, braucht man nur "Variation der Konstanten". Das ist ein Lösungsverfahren speziell für lineare Differentialgleichungen (bei nichtlinearen DGL funktioniert dieses Verfahren nicht) und ist immer anwendbar. Ansonsten gibt es natürlich noch viele andere Arten von Differentialgleichungen. Im nichtlinearen Fall gibt es für DGL, die auf eine bestimmte Weise aufgebaut sind, diverse Klassifikationen und zugehörige Lösungsverfahren. Separierbare Differentialgleichungen lassen sich auch recht einfach lösen, die wirst du auch mit aufnehmen können (und vermutlich müssen). Damit lässt sich auch bei linearen Differentialgleichungen sehr schön arbeiten. Und im Grunde benutzt man dieses Verfahren auch schon im Rahmen der "Variation der Konstanten". Ob man darüber hinaus noch mehr hinzunehmen sollte, müsstest du wohl mit deinem Lehrer absprechen. Kommt auf den gewünschten Umfang an. Soll es auch um Differentialgleichungen höherer Ordnung gehen? Oder nur erster Ordnung? Anwendungen in der Physik lassen sich zuhauf finden. Radioaktiver Zerfall, diverse Wachstumsprozesse, und und und ... |
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| 21.07.2014, 18:59 | antidote | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für deine Antwort 
Umfang der Arbeit beträgt ca. 25-35 Seiten, kann ich im Moment schwer einschätzen, was ich alles einbauen kann/soll/muss. Arbeite gerade an den Definitionen und Begriffen, daher werde ich deine Tipps auch erst in ein paar Tagen befolgen können.
Also primär möchte ich Dgl's erster Ordnung behandeln, allerdings ist es ja doch eine mittellängere Arbeit (zumindest an der Schule), daher weiß ich nicht, ob ich nur mit den von dir angesprochenen Verfahren die Länge einhalten kann, wenn ich kein Übermaß an Anwendungen reinschreiben möchte und zugegebenermaßen bin ich auch noch kein Profi was das Bewältigen von den Massen an verschiedenen DGLs angeht, aber ich habe noch genügend Zeit :-) |
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| 21.07.2014, 20:16 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Antidote, wir leben im Zeitalter der PCs! Warum also nicht auch auf numerische Verfahren eingehen? Meiner Meinung nach könntest Du also auch Differenzenverfahren erwähnen und da die Numerik der DGLs so umfangreich ist könntest du alleine damit schon etliche Seiten füllen. Ein gewisser Einstieg in die Thematik könnte das Runge-Kutta-Verfahren sein (s.a. Wikipedia). Die höhere Kunst sind dann symplektische Integratoren mit beeindruckenden Anwendungen in der Himmelsmechanik und hilfreichen Clips auf YouTube. Lasse Deiner Kreativität hier im Rahmen der Arbeit freien Lauf. |
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| 22.07.2014, 07:44 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
oder zumindest das Euler-Verfahren. Das ist praktisch auf alle gewöhnlichen DGLs anwendbar. Das Euler-Verfahren gibt es in zwei leicht unterschiedlichen Varianten: das historische Verfahren und das symplektische. Was symplektisch genau bedeutet ist dabei eher zweitrangig. Es funktioniert aber bei periodischen Funktionen wesentlich besser, als das historische Verfahren: http://www.youtube.com/watch?v=Qlxq07anEK8 . Was ist der Unterschied zwischen einer gewöhnlichen und einer partiellen DGL? Was ist eine Lipschitz-Bedingung? (s. http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Picard-Lindel%C3%B6f) |
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| 28.07.2014, 14:45 | antidote | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dankeschön für eure Antworten! Vom Runge-Kutta-Verfahren habe ich ein Kapitel im Buch von Heuser gefunden, Euler-Verfahren jedoch noch nichts. Kennt jemand vielleicht von euch ein gutes Buch zu verschiedenen Lösungsverfahren bzw. im Internet eine gelungene Seite, die man ohne Bedenken zur Hilfe ziehen kann bei Facharbeiten? mfg |
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| 28.07.2014, 16:01 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Runge-Kutta- Verfahren ist ein Mehrschrittverfahren. Meist mit 3 Zwischenschritten. Euler (oder auch Heun ) - Verfahren ist einschrittig. Also immer per Tangentenstückchen der Lösungskurve entlang. Der Fehler verringert sich aber nur linear mit Hier gibt Näheres: http://de.wikipedia.org/wiki/Explizites_Euler-Verfahren und Lipschitz lässt sich auch leicht finden ( googeln ) |
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