Lösen reelles Integral mit dem Cauchy Integralsatz

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magic.madness Auf diesen Beitrag antworten »
Lösen reelles Integral mit dem Cauchy Integralsatz
Hallo Forum,

habe grad aufgaben vom Staatsexamen des Frühlings 2014 durchgesehen, und mir ist bei folgende Aufgabe meine lösung so unwahrscheinlich vorgekommen, dass ich euch mal fragen wollte.

das Integral wäre von 0 bis unendlich, mit der funktion

meine überlegung hierbei waren das die funktion ja keine Singularitäten hat, sowie ein Produkt aus zwei potenzreihen ist, womit das Residuum Null ist. Mit dem cauchy Integralsatz wäre dann das Integral = 0

als hilfestellung steht hier dass man den weg ueber ein Rechteck gehen soll...aber da ich doch keine singularitäten umlaufe ist der weg doch egal, hauptsach er ist geschlossen.

Danke für eure Hilfe shon jetzt

m.m
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Das Integral über eine geschlossene Kurve ist dann , das ist richtig. Aber die positive reelle Achse ist ja nunmal nicht geschlossen. Kannst du mal die Aufgabe exakt wiedergeben, also mit dem Tipp? (Oder ist der da auch nur so unpräzise?)
magic.madness Auf diesen Beitrag antworten »

[attach]34939[/attach]
hoffe das foto sieht man
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, ok. Wenn du die Aufgabe lösen möchtest, musst du nicht das Integral von betrachten, sondern stattdessen das Integral von über den angegebenen Weg. Wenn du diesen dann mal parametrisierst, solltest du sehen, wie du zum Ziel kommst.
Cevas Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es versucht mit der Indikation. Ich finde man muss insgesamt 4 Integrale auswerten, keines davon ist leicht und keines hat mit dem Integral im Hinweis zu tun!!!
Kann mir jemand erklären wie Gruppi12 es gemeint hat?
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cevas
Ich finde man muss insgesamt 4 Integrale auswerten, keines davon ist leicht und keines hat mit dem Integral im Hinweis zu tun!!!

Hallo Cevas,

schreib doch mal deine Ideen dazu auf. Das kann man dann ja diskutieren. Der Beweis des Tipps mit Hilfe der Cauchy-Formel ist meiner Meinung nach auch nicht trivial.
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wie Guppi12 schon sagte, ist der Integrand. Wenn du ihn über das angegebene Rechteck integrierst und dann gehen läßt, verschwinden die Integrale über die vertikalen Strecken, während die Integrale über die horizontalen Strecken wegen des Cauchyschen Integralsatzes einen Zusammenhang zwischen dem gesuchten Integral und dem Gaußschen Fehlerintegral liefern. Beachte auch die Geradheit oder Ungeradheit der reellen Integranden. Es läuft eigentlich alles recht natürlich ab, ohne irgendwelche gerissenen Winkelzüge. Das einzig Raffinierte ist der Integrationsweg. Aber der war in der Aufgabe ja mitgegeben.
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Wie Guppi12 schon sagte, ist der Integrand.

Das verstehe ich nicht. Warum darf man den Term bei der Fortsetzung einfach weglassen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Weil der sich bei der Parametrisierung von alleine einstellt, und zwar bei der Integration über die obere Rechtecksseite.
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke smile .
Cevas Auf diesen Beitrag antworten »

Die Parametrisierung die ich benutze lautet jeweils:
und
und
und
und

Ich komme aber leider nicht weiter. Ist meine Parametrisierung überhaupt korrekt?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

das erste passt. Beim zweiten musst du bis gehen.

Beim dritten kommst du damit nur bis zur Hälfte von der Strecke, die du gehen müsstest.

Auch würde ich der übersichthalber empfehlen, auch diesen Weg von links nach rechts zu durchlaufen und dafür das Integral dann abzuziehen, anstatt es drauf zu addieren.

Der 4. ist richtig, aber auch hier würde ich vorschlagen, der übersichthalber von unten nach oben zu laufen und dafür das Vorzeichen des Integrals anzupassen.
Cevas Auf diesen Beitrag antworten »

Also insgesamt:
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Die senkrechten Wege kann man sehr schön wie folgt hinschreiben:

mit

Bei dem oberen Weg braucht man zum unteren Weg lediglich ein zu addieren, also

mit

Man muss dann nur noch auf die richtigen Vorzeichen der Integrale achten.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Cevas,

das ist so fast richtig. Du hast nur

1. überall die Ableitung des Weges vergessen.

2. Der 4. Weg stimmt noch nicht, schau dir den nochmal an.
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cevas
Also insgesamt:

Schau Dir den vierten Term nochmal an. Da ist das Vorzeichen falsch und vor dem R muss ein Minus stehen.
Cevas Auf diesen Beitrag antworten »



Der 4.te Weg geht von bis -R!
Ich sehe leider nicht was da falsch seien kann?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Im Integral steht bei dir aber kein - vor dem R. Außerdem ist das Vorzeichen dieses Integrals dann falsch. Warum steht da ein Minus?
Cevas Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast Recht Gruppi12!



Ich hoffe es sieht jetzt gut aus!!
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist jetzt richtig. Jetzt kannst du die einzelnen Teile auswerten. (Dabei immer im Hinterkopf behalten, dass die Summe der 4 Integrale gleich Null ist, das braucht man dann ganz am Ende wieder).
Cevas Auf diesen Beitrag antworten »

Der Imaginärteil des Integrales dürfte man ignorieren?
Der sollte insgesamt null sein!!
Es taucht der gesuchte Integral mit dem , aber die anderen sinus und cosinus mit anderen Argumenten sind auch vorhanden!!
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Der Imaginärteil des Integrales dürfte man ignorieren? Der sollte insgesamt null sein!!


Nein, den kann man nicht ignorieren, denn damit würdest du ja das Kennen der Lösung voraussetzen.

Für deine andere Frage empfehle ich, Leopolds Post zu beachten. Du kannst ja mal posten, was du hast, dann sehen wir weiter. Eigentlich geht das aber wirklich sehr straight forward.
Cevas Auf diesen Beitrag antworten »

Das erste Integral ist für R unendlich.
Dann geht es so weiter:
Cevas Auf diesen Beitrag antworten »

Dann geht es so weiter:
Cevas Auf diesen Beitrag antworten »

Wie Leopold es erklärt hat sollte

Nennen wir unser ges. Integral J, dann hätten wir:

Cevas Auf diesen Beitrag antworten »

Da blockiere ich total.
Mir ist klar, dass . Ich weiss nicht, ob es Grund genug die zwei noch nicht ausgewertete Integral nach Null tendieren zu lassen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cevas


Beim vierten Summanden wurde die Orientierung schon durch das Minuszeichen vor dem Integral berücksichtigt. Daher nicht , sondern einfach nur .

Du darfst in einer Gesamtrechnung nicht bei einzelnen Gliedern den Grenzübergang durchführen, bei andern nicht. Ich würde dir empfehlen, die vier Summanden in einer Nebenrechnung getrennt zu untersuchen. Später kannst du dann auf einmal anwenden.

1. Summand



3. Summand





2./4. Summand

Hier ist es gar nicht erforderlich, detailliert zu rechnen. Man kann durch Abschätzen zeigen, daß diese Summanden gegen 0 konvergieren. Wegen der Dreiecksungleichung genügt es, beim Integranden zum Betrag überzugehen.

Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Minus im 4. Summanden kommt von der Ableitung des Weges. Der Vorschlag, das ganze übersichtlicher zu machen und anders herum zu parametrisieren ist wohl nur beim 3. Integral für gut befunden worden Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nachdem die Sache jetzt mehr oder weniger durch ist, möchte ich noch einen Alternativvorschlag unterbreiten, der allein mit reeller Analysis auskommt.

Dazu definiert man die Funktion durch



Indem man unterm Integralzeichen nach differenziert, erhält man



Zu beiden Integralen kann man wegen der Beschränktheit von Sinus und Cosinus von unabhängige Majoranten angeben. Das garantiert die gleichmäßige Konvergenz in , weshalb die Umformungen gerechtfertigt sind.

Mittels partieller Integration - beachte - folgt:



Somit ist die Lösung des Anfangswertproblems



Die Theorie der Differentialgleichungen garantiert eine eindeutige Lösung, die man hier durch Trennen der Veränderlichen leicht ermitteln kann.
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