Elliptische Kurve: Punkt im Unendlichen und Ordnung eines Punktes |
| 22.07.2014, 11:05 | FritzGerd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Elliptische Kurve: Punkt im Unendlichen und Ordnung eines Punktes Hi, Ich bereite mich momentan auf eine Klausur vor, in der auch Elliptische Kurven eine Rolle spielen. Leider habe ich gerade ein komplettes Brett vor dem Kopf. Ich verstehe nicht so recht, wie ich die Ordnung eines Punktes errechne, und welche Rolle der Punkt im Unendlichen dabei spielt. Ich kann die Ordnung eines Punktes bei Gruppen errechen, aber der Punkt im Unendlichen ist für mich wenig griffbar. Meine Ideen: ord(a)=a*a*a*a...*a=neutr. Element Elliptische Kurve: ord(a)=a+a+a+a=Punkt im Unendlichen |
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| 22.07.2014, 11:41 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, der "Punkt im Unendlichen" ist das neutrale Elemente dieser (additiven) Gruppe.
Das ist falsch. ord(a) ist eine natürliche Zahl, a*...*a ist ein Gruppenelement und damit i.A. keine natürliche Zahl, diese beiden Objekte sind also nicht einmal vergleichbar. Die Def. die du wohl meinst ist: |
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| 22.07.2014, 13:34 | FritzGerd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Entschuldigung, ja, genau, die Definition meinte ich. Ich glaube, ich mache mein Problem am besten an einem Beispiel deutlich: Elliptische Kurve: y^2=x^3+11*x+10 mod 19 Als Ordnungen kommen ja nur Teiler der Gruppenkardinalität(=14) in Frage. Das wären 1, 2, 7 und 14 selbst. Laut meiner Musterlösung soll die Ordnung des Punktes a=(6,11) gleich 7 sein. Wenn ich den Punkt 7*a ausrechne, komme ich aber auf den Punkt (18,2). Warum ist das der Punkt im Unendlichen, oder habe ich einen Denkfehler? |
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| 22.07.2014, 13:43 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist nicht der "Punkt im Unendlichen". Warum das raus kommt: Wahrscheinlichste Erklärung ist ein/mehrere Rechenfehler. |
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| 22.07.2014, 13:48 | FritzGerd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das habe ich dann auch vermutet, aber nach meiner Überprüfung nichts gefunden. Kannst du mir denn sagen, was stattdessen herauskommen soll? Ich brauche gar nicht das komplette Ergebnis, aber ich wüsste nicht, wie ich erkennen soll, das gerade 7*a der Punkt im Unendlichen ist, und somit die Ordnung von a gleich 7. |
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| 22.07.2014, 14:10 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
(18,2) gilt übrigens nicht aud der Kurve, daher musst du dich massiv verrechnet haben.
Mein CAs ist nicht auf diesem Rechner und das per Hand rechnen ist mir zu aufwändig.
Indem man 7*a berechnet. Am geschicksten aus 7*a=4*a+2*a+a (bzw. wenn man sieht, dass 4a=-3a) |
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| 22.07.2014, 14:16 | FritzGerd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und der Punkt im Unendlichen ist somit ein normaler Punkt auf der Kurve, der bei jeder Kurve anders ist? Oder soll bei 7*a kein Ergebnis herauskommen, und dann weiß ich, dass es der Punkt im Unendlichen ist? |
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| 22.07.2014, 14:22 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja und nein, der Punkt ist immer der selbe.
Sag mal wie habt ihr die Addition eigentlich definiert? Da muss ein Unterpunkt dabei sein, was passiert bei Addition zweier Punkte mit identischer x-Koordinate. Wenn bei 7*a kein Ergebnis rauskäme (wo immer auch) würde das heißen, dass die Addition nicht (wohl-)definiert ist und wir daher gar keine gruppe haben. |
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| 22.07.2014, 14:55 | FritzGerd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich glaube, dass ich mein Problem schlecht erklären kann, aber ich versuchs nochmal. Wenn ich 7*a ausgerechnet habe, bekomme ich die Koordinaten für einen Punkt heraus?! Muss dieser Punkt auf der Kurve liegen? (Meiner Meinung nach ja, aber selbst in einem zweiten Beispiel habe ich, nachdem ich 5*a ausgerechnet habe(Musterlösung:ord(a)=5) einen Punkt bekommen, der nicht auf der Kurve liegt. Und ich habe den Computer für mich rechnen lassen.) Was an diesen Koordinaten sagt mir, dass es der Punkt im Unendlichen ist? Ich könnte ja ebenso auch 14*a ausprobieren und würde ebenso Koordinaten herausbekommen, und könnte danach doch auch ord(a)=14 sagen?! |
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| 22.07.2014, 15:10 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich kann deine Frage beantworten wenn du auch meine Rückfragen beantwortest. ich stelle die nicht ohne Grund oder um Platz zu füllen. insbesondere die hier:
Es gibt viele Methoden elliptische Kurven und die Addition darauf einzuführen, meine Glaskugel sagt mir nicht wie ihr das gemacht habt. Der "Punkt im Unendlichen" ist ein Punkt der Kurve und auch ein Element der Gruppe. Die Gruppenoperation ist abgeschlossen, sie ist ja eine Gruppenoperation; die Addition zweier Punkte der Kurve ergibt immmer einen Punkt der kurve. Wenn was anderes rauskommt ist es Rechenfehler. |
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| 24.07.2014, 10:04 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Scheinbar ist es zu anstrengend die Definition nachzuschlagen. na es gibt ja Idioten im Internet die einem alles vorkauen... Und das Wort Danke existiert wohl auch nicht mehr... |
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