Integralgleichung

22.07.2014, 12:07

blau

Integralgleichung

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{dx}{dt} \, dt = \int \! v_{m} cos (2\pi*\frac{t}{T}) \, dt \end{eqnarray*}$

Hier soll integriert werden.
Die Lösung lautet folgendermaßen:
$\begin{eqnarray*} x = \frac{v_{m}T }{2\pi}(sin2\pi*\frac{t}{T}-1) + x_{0} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich bin noch nicht sehr fit im integrieren, habe mich aber über die Substitutionsregel informiert und hier auch angewendet.

Wenn:
$\begin{eqnarray*} z = 2\pi*\frac{t}{T} \end{eqnarray*}$
dann

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dt} = \frac{2\pi}{T} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dt = \frac{Tdz}{2\pi} \end{eqnarray*}$

Dann hole ich alles bis auf dz nach vorne und habe damit dann stehen:
$\begin{eqnarray*} \frac{Tv_{M}}{2\pi} \int\! cos(z) dz \end{eqnarray*}$

cosinus wird integriert und zum sinus. Der Rest bleibt stehen und nur die entsprechende Konstante kommt hinzu.
Mein Ergebnis also:

$\begin{eqnarray*} x = \frac{Tv_{M}}{2\pi} sin(\frac{2\pi}{T}*t) + x_{0} \end{eqnarray*}$

Wo liegt mein Denkfehler? Ist meine Art, zu Integrieren richtig? Wie kommt man auf die "richtige" Lösung? Habe leider keinen Rechenweg dazu.
Kann mir leider nicht erklären, wieso das sin plötzlich in der Klammer ist und wo das -1 herkommt.

Bin für jede Hilfe dankbar smile

22.07.2014, 12:19

klarsoweit

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RE: Wie integriere ich hier?
Das Ding kommt ja wohl irgendwie aus einer Differentialgleichung. Man müßte nun die Anfangswerte bzw. die Integrationsgrenzen kennen. smile

22.07.2014, 12:30

blau

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Wozu?
Also die Aufgabe lautete:

"Ein Schwingender Körper hat die Geschwindigkeit $\begin{eqnarray*} v_{x}(t) = v_{m}cos2\pi\frac{t}{T} \end{eqnarray*}$ ......"

Und dann sollte man x(t) und a(t) ermitteln. Einmal also differenzieren, sodass man a(t) bekommt (damit hatte ich keine Probleme) und dann einmal integrieren, um auf x(t) zu kommen.

22.07.2014, 12:51

klarsoweit

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Nun gut, den Anfangswert hast du ja in deinem Ergebnis durch Addition der Konstanten x_0 berücksichtigt. In meinen Augen ist dein Ergebnis ok und ich kann dir leider nicht sagen, warum da in der Lösung ein "-1" auftaucht.

22.07.2014, 13:40

blau

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Der Text sagt auch, dass der schwingende Körper sich zur Zeit $\begin{eqnarray*} t_{0} = \frac{T}{4} \end{eqnarray*}$ am Ort $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$
befindet, allerdings hielt und halte ich diese Angabe nach wie vor nicht für relevant, da die Aufgabenstellung besagt, man solle den Ort x als Funktion der Zeit bestimmen und x(t) bestimme ich durch integration von v(t). Sehe nicht, wieso ich da irgendwo t=t0 setzen soll. Wurde ja auch beim Ergebnis nicht gemacht.

Das -1 ist ja leider auch nicht das einzige, was meine Lösung von der in meinem Buch unterscheidet.
Wenn meine Integration theoretisch richtig ist, beruhigt mich das allerdings schon etwas smile

22.07.2014, 15:12

klarsoweit

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Zitat:

Original von blau
Der Text sagt auch, dass der schwingende Körper sich zur Zeit $\begin{eqnarray*} t_{0} = \frac{T}{4} \end{eqnarray*}$ am Ort $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$
befindet

Aha, so langsam rückst du ja raus mit den kompletten Vorgaben.

Zitat:

Original von blau
allerdings hielt und halte ich diese Angabe nach wie vor nicht für relevant, da die Aufgabenstellung besagt, man solle den Ort x als Funktion der Zeit bestimmen und x(t) bestimme ich durch integration von v(t).

Nun ja, das x(t) muß aber so beschaffen sein, daß die Bedingung $\begin{eqnarray*} x(t_0) = x_0 \end{eqnarray*}$ erfüllt wird. Damit kommen wir also zu folgendem Integral:

$\begin{eqnarray*} x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t \! v_m cos (2\pi \cdot \frac{t^*}{T}) \, dt^* = x_0 + \frac{v_m T}{2\pi} \cdot \left(sin(2\pi \cdot \frac{t}{T}) - sin(2\pi \cdot \frac{t_0}{T}) \right) \end{eqnarray*}$

So, und jetzt setze mal $\begin{eqnarray*} t_0 = \frac{T}{4} \end{eqnarray*}$ ein. smile

22.07.2014, 15:12

Bernhard1

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RE: Integralgleichung

Zitat:

Original von blau
Die Lösung lautet folgendermaßen:
$\begin{eqnarray*} x = \frac{v_{m}T }{2\pi}(sin2\pi*\frac{t}{T}-1) + x_{0} \end{eqnarray*}$

Hallo blau,

hier fehlt ganz offensichtlich eine Klammer.

Richtig sollte es heißen:

$\begin{eqnarray*} x = \frac{v_{m}T }{2\pi}(sin(2\pi*\frac{t}{T})-1) + x_{0} \end{eqnarray*}$

Dann gilt auch die angegebene Randbedingung, wie man durch Einsetzen sofort nachrechnen kann. Deine Integration ist also richtig bis auf die Integrationskonstante.

24.07.2014, 09:22

blau

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Ich beginne, zu verstehen. Aber wie kommt man darauf, hier ein bestimmtes Integral mit den Grenzen t0 und t zu haben?

24.07.2014, 09:35

klarsoweit

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$\begin{eqnarray*} \int_{t_0}^t v(t^*) ~dt^* \end{eqnarray*}$ gibt nur die zurückgelegte Strecke im Intervall [t_0; t] an. Um damit zu einem spezifischen Ortpunkt zu gelangen, muß man ja wissen, an welchem Ort (= Anfangsbedingung) man gestartet ist. Das führt zu:

$\begin{eqnarray*} x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t v(t^*) ~dt^* \end{eqnarray*}$

Ohne große Rechnerei gilt offensichtlich $\begin{eqnarray*} x(t_0) = x_0 \end{eqnarray*}$ , und damit ist man schon mal zur richtigen Zeit am richtigen Ort. smile

24.07.2014, 09:43

blau

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Das gefällt mir, dankeschön!
Die restlichen minimalen Unklarheiten kriege ich bestimmt selber hin, ansonsten schreie ich hier nochmal kurz rein.
smile

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