Eindeutige Lösung der Optimierungsaufgabe

22.07.2014, 18:15

JohnnyM

Eindeutige Lösung der Optimierungsaufgabe

Meine Frage:
Hallo smile

Ich habe folgende Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} A \in \mathbb{R}^{n \times n} \end{eqnarray*}$ pos. def. und symmetrisch und $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} U \subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ist ein Untervektorraum und $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{R}^n \ \{0\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u^TAa=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ . Die eindeutige Lösung der Optimierungsaufgabe $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}u^TAu-b^Tu \to \min \end{eqnarray*}$ (1) bei $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} u^* \end{eqnarray*}$ . Bestimme die eindeutige Lösung der Optimierungsaufgabe $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x^TAx-b^Tx \to \min \end{eqnarray*}$ (2) bei $\begin{eqnarray*} x \in U+\mathbb{R}a \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} u^* \end{eqnarray*}$ . Und $\begin{eqnarray*} U+\mathbb{R}a := \{u + \lambda a | u \in U, \lambda \in \mathbb{R} \} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich weiß nicht, wie ich vorgehen soll. Meine Idee wäre, $\begin{eqnarray*} x= u + \lambda a \end{eqnarray*}$ in (2) einzusetzen und umzuformen.

Damit hätte ich dann (sofern ich mich nicht verrechnet habe) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}u^TAu-b^Tu + \frac{1}{2}( \lambda a^TAu + \lambda^2a^TAa) - \lambda b a = u^* + \frac{1}{2}( \lambda a^TAu + \lambda^2a^TAa) - \lambda b a \end{eqnarray*}$ .

Nun komm ich nicht mehr weiter.

23.07.2014, 21:56

JohnnyM

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Wäre über jeden Tipp froh. Würde die Aufgabe gern lösen.

24.07.2014, 11:12

Math1986

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RE: Eindeutige Lösung der Optimierungsaufgabe

Zitat:

Original von JohnnyM
Damit hätte ich dann (sofern ich mich nicht verrechnet habe) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}u^TAu-b^Tu + \frac{1}{2}( \lambda a^TAu + \lambda^2a^TAa) - \lambda b a = u^* + \frac{1}{2}( \lambda a^TAu + \lambda^2a^TAa) - \lambda b a \end{eqnarray*}$ .

Nun komm ich nicht mehr weiter.

hallo,
$\begin{eqnarray*} \min_{a\in\mathbb R^n,u\in U}\frac{1}{2}u^TAu-b^Tu + \frac{1}{2}( \lambda a^TAu + \lambda^2a^TAa) - \lambda b a \end{eqnarray*}$
Du weißt, dass $\begin{eqnarray*} a^TAu=u^TAa=0 \end{eqnarray*}$
Ferner ist die Lösung von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}u^TAu-b^Tu \to \min \end{eqnarray*}$ (1) bei $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} u^* \end{eqnarray*}$ .

Eventuell hilft das ja soweit weiter, alternativ wäre auch eine Taylor-Aufgabe sinnvoll.

ich kenne mich da leider auch nicht so aus dass ich gleich die Lösung sehe, aber evtl hilft dir das ja weiter Augenzwinkern

24.07.2014, 13:27

JohnnyM

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RE: Eindeutige Lösung der Optimierungsaufgabe
Danke schonmal. Aber woher weiß ich, dass $\begin{eqnarray*} a^TAu=u^TAa \end{eqnarray*}$ gilt?

Somit hätte ich ja dann schonmal $\begin{eqnarray*} u^* + \frac{1}{2}( \lambda^2a^TAa) - \lambda b a \end{eqnarray*}$ . Aber das reicht sicher noch nicht als eindeutige Lösung, oder?

24.07.2014, 15:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von JohnnyM
Aber woher weiß ich, dass $\begin{eqnarray*} a^TAu=u^TAa \end{eqnarray*}$ gilt?

Von der Dimension her ist $\begin{align*} a^TAu \end{align*}$ erstmal eine 1x1-Matrix (mit anderen Worten: eine Zahl), die ist von Haus aus immer symmetrisch und damit gleich ihrer Transponierten. Und diese ist gemäß der Umformungsregeln gleich

$\begin{align*} (a^TAu)^T = u^TA^T(a^T)^T = u^TA^Ta \end{align*}$ .

Nun war ja $\begin{align*} A \end{align*}$ auch noch als symmetrisch vorausgesetzt... Augenzwinkern

24.07.2014, 16:02

JohnnyM

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Ja das leuchtet ein. Aber reicht meine Antwort damit schon aus? Ich zweifle noch an der Eindeutigkeit der Lösung.

24.07.2014, 16:17

Math1986

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Zitat:

Original von JohnnyM
Ja das leuchtet ein. Aber reicht meine Antwort damit schon aus? Ich zweifle noch an der Eindeutigkeit der Lösung.

Das sehe ich auch nicht so direkt. Da müsstest du wohl irgendwie noch etwas Umformen, ich sehe es so direkt auch nicht. Sonst versuch mal eine Taylor-Entwicklung um $\begin{eqnarray*} u^* \end{eqnarray*}$ herum.

Evtl. kann HAL9000 auch hier helfen.

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