Parabel 4. Ordnung herleiten

22.07.2014, 18:52

balance

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Parabel 4. Ordnung herleiten

Hallo,

Irgendwie hab ch grad ein Brett vorm Kopf.

Folgende Aufgabe:
Eine Parabel 4. Ordnung hat im Ursprung einen Sattelpunkt (T für mich) und bei x=1 einen weiteren Wendepunkt. Sie schneidet die x-Achse mit der Steigung m=4.

Ansatz: $\begin{eqnarray*} f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \end{eqnarray*}$ Ich hab hier bereits c,d und e gestrichen wegen der Angabe des T im Ursprung. Sicherheitshalber lass ichs jedoch mal.

Wir brauchen die ersten 2 Ableitungen:
$\begin{eqnarray*} f(x)= ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)= 4ax^3+3bx^2+2cx+d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=12ax^2+6bx+2c \end{eqnarray*}$

Informationen die wir haben:
T(0/0)
WP(1/f(1))
N(x/0) => m=4

Gleichungssystem:
Terassenpunkt:
f(0) =0 e=0
f'(0) =0 d=0
f''(0)=0 c=0

Weiter könnte ich mir noch folgendes zusammenreimen:
f'(x)=4 3=4ax^3+3bx^2
f''(1)=0 0=12a+6b
f(x)=0 0=ax^4+bx^3

Aber naja, irgendwie seh ich nicht welche Information ich vergesse

EDIT (mY+):
Deine Fehler im NACHHINEIN ohne Kommentar zu editieren ist unfair und NICHT erlaubt!
Ich behalte mir vor, den Beitrag ggf. wieder auf den ursprünglichen Zustand zurückzusetzen.
Dein letztes Edit: Dieser Beitrag wurde 1 mal editiert, zum letzten Mal von balance: Heute, 19:06.
Mein letztes Edit: Beitrag wurde 2 mal editiert, zum letzten Mal von mYthos: Heute, 19:02.
-----

22.07.2014, 18:59

mYthos

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Fehler 1: f'(x) = 4

Fehler 2: 0 = 12a + 6b (W bei x = 1) 2. Ableitung ist Null!
______________

Die Nullstellen sind (mit c, d, e = 0, 0, 0) so zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} x^3(ax + b) = 0 \end{eqnarray*}$

x = 0 kann ausgeschlossen werden ...

22.07.2014, 19:06

balance

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Danke für die Fehler. (Aufm Papier stimmts, nur falsch abgetippt)

Frage besteht weiterhin.

Wurde korrigiert oben.

Edit:

Ach unter dem Strich geht deine Antwort weiter... Mach das nicht. Strich=Signatur=Ignorieren.
Was willst du mir damit sagen? Genau das habe ich im ersten Satz gesagt.

22.07.2014, 19:07

mYthos

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Was auf deinem Papier steht, kann ich nicht sehen, nur das hier.
Und das ist eben falsch, was soll's.

Und was ist mit dem Hinweis für die Nullstelle?

-----------------

Unsere Antworten haben sich überkreuzt.
Allerdings mache ich die Abschluss-Striche der Übersichtlichkeit wegen.
Wenn du deswegen nicht den ganzen Beitrag liest, kann man nur sagen: Selber schuld.
Frage dich doch einfach: Wer braucht hier Hilfe und soll man den Helfern Vorschriften machen?

Bin zwar *not amused*, aber dennoch Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.07.2014, 19:09

balance

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Ich verstehe nicht was du mir genau mitteilen willst.

Es genügt wenn du mir sagst, was deine Idee ist, die Mathematik dahinter ist nebensächlich. smile

smile

Ist deine Idee, die Nullstelle, welche unbekannt ist, allgemein auszudrücken und diesen Ausdruck zu benutzen?

Wegen deiner Frage, siehe oben. Ich dachte, das sei deien Signatur, da es ein Signaturstrich ist und ich Signaturen automatisch nicht lese (effektiv ausblende)

Habs aber gesehen. Und klar siehst du nur das, war nur eine Anmerkung.

Edit: x=0 kann ausgeschlossen werden? Heisst?

22.07.2014, 19:15

mYthos

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Weil die Steigung bei x = 0 NICHT 4 sein kann, wenn dort ein Terrassenpunkt ist!
Und ja, du sollst die Nullstelle allgemein in a, b ausdrücken, sonst kannst du ja dort die Steigung nicht berechnen und gleich 4 setzen.
Damit hast du dann deine fehlende Gleichung

mY+

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22.07.2014, 19:16

Papagai

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Was bist du denn für ein unhöflicher Bolzen ?

Du hast überhaupt Glück, dass dir mYthos hilft und er bekommt bestimmt kein Geld dafür und du kommst ihm hier blöd an.
Es ist dein Problem, wenn du das ignorierst, selber schuld, wenn ich mYthos wäre, würde ich dir nicht helfen.

Einen Undankbarer verdient keine Hilfe. unglücklich

unglücklich

22.07.2014, 19:22

mYthos

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Lieber Papagai, danke, aber ich komm schon klar.
Die Erfahrung lehrt, dass manches Mal etwas falsch rüberkommen kann und Missverständnisse entstehen und diese werden dann ausgeräumt.
Ich habe ja dann meine Meinung dazu geschrieben, vorerst sehe ich das (noch) nicht so eng, erst dann, wenn der Umgangston untergriffig wird.
Das soll natürlich nicht passieren ...

22.07.2014, 20:17

balance

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Ich wollte nie jemanden anecken. Natürlich ist es nicht mythos Schuld, wenn ich etwas übersehe.

Usability technisch ist es aber einfach so dass 1 Element nur 1 Aufgabe haben darf. Hier sprach der Web Entwickler aus mir. Es war eine Kritik an seiner Formatierung, was in meiner Welt nichts negatives ist. Schlussendlich war ich evtl. zu direkt, so dass man schnell denkt, ich bin arrogant. Es war bloss eine kleine und in meinen Augen berechtigte Kritik. Mir fällt sowas halt sofort (oder eben nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

) auf.

Zur Aufgabe:

1. Ich verstehe den Satz "x=0 kann ausgeschlossen werden" aus deinem 1. Post immernoch nicht bzw. sehe nicht, was du mir damit sagen willst.

2. Natürlich ist die Steigung im Ursprung nicht 4. Das wurde ja nie behauptet. (Nicht absichtlich, evtl. Missverstädnnis?)

3. Also, ich brauch ja jetzt noch 2 Gleichungen, eine habe ich ja.

Wenn ich dich korrekt verstanden habe, kriege ich die fehlende wie folgt:

f'(xn)=3
f(xn)=0 => $\begin{eqnarray*} 0=x^3(ax+b) \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} 0=ax+b \end{eqnarray*}$ , damit kann ich x durch a und b ausdrücken, und oben einfügen. (War das, was du meintest mit, ich kann x=0 ausschliessen?)

Ansatz korrekt?

Danke

Edit: Ich mach keinem Vorschriften, ich weise bloss auf Dinge hin, die wie ich finde, nicht optimal sind. Ich gebe einen konstruktiven Input, war zumindest als solcher gemeint. Ich jedenfalls finde es immer gut, wenn Leute mich auf etwas hinweisen, ob ich die Kritik dann annehme, sei mal dahingestellt, aber das ist doch nichts negatives...

Ich glaube, hier wurde einiges missverstanden (von mir dein erster Post, hab den irgendwie völig verkehrt gelesen). Schlechter Start. Hoffe mit diesem Post bisschen aufzuräumen.

22.07.2014, 20:30

Leopold

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Manchmal ist es geschickter, die Parameter nach und nach zu eliminieren. Du bist schon bei

$\begin{eqnarray*} f(x) = ax^4 + bx^3 \end{eqnarray*}$

angekommen. $\begin{eqnarray*} f''(1) = 0 \end{eqnarray*}$ liefert dir eine Bedingung zwischen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ , so daß du $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ im Ansatz eliminieren kannst:

$\begin{eqnarray*} f(x) = ax^4 + \left( \text{... Term in} \ a \ \text{...} \right) x^3 \end{eqnarray*}$

Jetzt erst würde ich die letzte Bedingung umsetzen. Und dabei kann $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ausgeschlossen werden, denn dort ist die Steigung ja 0 (Sattelpunkt). Die Steigung 4 kann also nur an einer anderen Nullstelle angenommen werden.

22.07.2014, 20:55

balance

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$\begin{eqnarray*} f''(1) = 0 \end{eqnarray*}$ Das ist mir klar, das habe ich ja auch. Du formst das nun um auf b um und setzt es in $\begin{eqnarray*} f(x) = ax^4 + bx^3 \end{eqnarray*}$ ein. Diesem Schritt kann ich nicht folgen. Jetzt habe ich immernoch 3 unbekannte. y, a und x.

Ich verstehe nicht was ihr mir sagen wollt mit "ich kann 0 ausschliessen". Mir ist absolut und völlig klar dass am Ursprung die Steigung nicht 4 ist, sondern 0. Auch dass habe ich geschrieben.

Dass die Steigung 4 an einer anderen Nullstelel ist, also +-unendlich ohne 0, ist auch klar und absolut logisch, damit weis ich jedoch nichts anzufangen.

Von welcher letzten Bedingung redest du?

Ich beginne nochmal:
f(0) =0 e=0
f'(0) =0 d=0
f''(0)=0 c=0

Damit bin ich beim Ansatz welchen du erwähnt hast. $\begin{eqnarray*} f(x) = ax^4 + bx^3 \end{eqnarray*}$

Nun weis ich ja dass f''(1)=0, wegen dem WP, damit kriege ich: $\begin{eqnarray*} 0=12a+6b \end{eqnarray*}$

So, nun fehlt mir ja noch eine einzige Gleichung. Die einzige Information welche ich noch habe ist, dass irgendwo, ausser bei 0, die Parabel die x-Achse mit m=4 schneidet. Ich habe xn nicht gegeben, also muss ich das irgendwie ausdrücken.

Es gilt: $\begin{eqnarray*} f(x) = ax^4 + bx^3 \end{eqnarray*}$ dies kann ich mit dem Term von oben kombinieren.

$\begin{eqnarray*} -2a=b \end{eqnarray*}$ (Vom Term oben)

Somit: $\begin{eqnarray*} f(x) = ax^4 - 2ax^3 \end{eqnarray*}$

Ich erhalte:
$\begin{eqnarray*} 0= ax^4 - 2ax^3 \end{eqnarray*}$ Nullstellen
$\begin{eqnarray*} 3=4ax^3-6ax^2 \end{eqnarray*}$

Und nun? War das was ihr mir sagen wolltet?

Ich steh absolut auf dem schlau, was ihr mir sagen möchtet. Ich kapiers nicht. smile

smile

Ich versteh auch nicht, was ihr mit x=0 ausschliessen meint. Mir ist absolut und völlig klar, dass am Ursprung die Steigung = 0 ist und nicht = 4, wie im Eingangspost auch bereits formuliert. Daraus ergibt sich logischerweise, dass die Nullstelle bei welcher m=4 ist, irgendwo sonst sein muss. Aber was ihr mit x=0 ausschliessen meint, raf ich nicht, da ich nicht sehe auf was sich diese Aussage bezieht.

Also, wie bekomme ich die 2. Gleichung? Wie verwandle ich die Information f'(x)=4 in eine brauchbare Gleichung?

Ich kann $\begin{eqnarray*} 0= ax^4 - 2ax^3=x^3(ax-2a) \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} 0=ax-2a \end{eqnarray*}$ also x=2 oder was?

Wenn ich nun x in der 2 Gleichung oben (f'(2)=3) einsetze, kriege ich a=8/3, was falsch ist.

22.07.2014, 20:58

mYthos

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EDIT:
Wieder haben sich unsere Posts gekreuzt.
Was nun, ist die bewusste Steigung nun 3 oder 4?

Zu den Nullstellen:
Es gibt deren 2, nämlich 0 und -b/a.
Die Null ist jetzt nicht weiter zu untersuchen, denn dort ist die Steigung 0, sie kann somit weder 3 noch 4 sein Big Laugh

Big Laugh

Mehr ist nicht dahinter.

Zitat:

Original von balance
...
f'(xn)=3
f(xn)=0 => $\begin{eqnarray*} 0=x^3(ax+b) \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} 0=ax+b \end{eqnarray*}$ , damit kann ich x durch a und b ausdrücken, und oben einfügen. (War das, was du meintest mit, ich kann x=0 ausschliessen?)

Ansatz korrekt?
...

Soweit ja, aber ich verstehe nicht, weshalb du immer noch f'(x) = 3 setzst.

-------------------

Also gibt es zwei Gleichungen, davon kommt vom Wendepunkt diese:

12a + 6b = 0

Leopold meinte, dass daraus schon eine Variable zu eliminieren ist (was durchaus eine gute Idee ist), also z.B. b = -2a.

Nun berechne die Steigung an der Stelle x = -b/a = 2
Setze auch dann dort für b = -2a. Damit bleibt nur noch eine Gleichung in a

P.S.:
Über die Missverständnisse mache dir keine weiteren Gedanken mehr, das sollte erledigt sein Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.07.2014, 21:03

balance

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Ach verdammt! Das 3 ist ein schlichter Fehler, vertippt. Ich weis nicht, wieso ich 3 im Kopf habe. Ich mache seit dem Morgen Analysis, hat sich eingebrannt.

x=2, darauf kam ich, habs oben reineditiert. Dann komme ich auf a, jedoch ein falsches a.

Kopiert von oben:

Ich kann $\begin{eqnarray*} 0= ax^4 - 2ax^3=x^3(ax-2a) \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} 0=ax-2a \end{eqnarray*}$ also x=2 oder was?

Wenn ich nun x in der 2 Gleichung oben (f'(2)=3) einsetze, kriege ich a=8/3, was falsch ist. -- natürlich wars falsch, ist ja 4 nicht 3....

Ich habs, ich danke allen! Ich versteh zwar immer noch nicht, was ihr mit 0 ausschliessen meintet aber mir ist jetzt klar wo ich anfangs den Fehler machte und welche Überlegung mir fehlte.

22.07.2014, 21:10

mYthos

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Du kommst nicht von der 3 herunter!
Die Steigung sollte dort (bei x = 2) doch 4 sein (?)

Ich habe dann a = 1/2
---------

Siehe mein EDIT (oben):
Wieder haben sich unsere Posts gekreuzt.
...

Zu den Nullstellen:
Es gibt deren 2, nämlich 0 und -b/a.
Die Null ist jetzt nicht weiter zu untersuchen, denn dort ist die Steigung 0, sie kann somit weder 3 noch 4 sein Big Laugh

Big Laugh

Mehr ist nicht dahinter.

Übrigens kriegst du mit f'(2) = 3 für a = 3/8 und NICHT 8/3 (!)

22.07.2014, 21:22

Leopold

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@ balance

Das ist irgendwie richtig, aber nicht in voller Klarheit formuliert. Aus dem Ansatz

$\begin{eqnarray*} f(x) = ax^4 - 2ax^3 = ax^3 \left( x - 2 \right) \end{eqnarray*}$

liest man $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ als Nullstellen ab. Bei einer dieser Nullstellen soll die Steigung $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ betragen. Das kann nicht bei $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sein (insofern ist das auszuschließen), denn dort ist die Steigung $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , also kann es nur bei $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ sein.

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 4ax^3 - 6ax^2 \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} f'(2) = 4 \end{eqnarray*}$ ergibt sich daraus $\begin{eqnarray*} a = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

22.07.2014, 21:29

mYthos

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Mhhm, habe ich nicht genau das Gleiche gesagt?
-------
Ahh, ok, es haben sich die Posts wahrscheinlich gekreuzt.

22.07.2014, 22:24

balance

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Ja, klar hat es 2 Nullstellen und klar ist die eine nicht gemeint, das ist ja klar. Aber ich sehe ein, dass ich es hätte erwähnen sollen, um es klar zu machen.

Jetzt hab ich glaub gerade gepeilt, dass der Satz, man kann die 0 raussnehmen, auf diese Lösungsmenge bezogen war.

Wie gesagt, es ist klar. Irgendwie verdreh ich heut meine Zahlen... Naja, schlechter Tag, solls geben.

Ich danke für die Geduld Mit Zunge

Mit Zunge

Noch zum Schluss: Mein Problem war, dass ich zwar dachte, ich kann die Unbekannte Nullstelle allgemein irgendwie ausdrücken, hab es aber irgendwie nicht richtig zu ende gedacht, weshalb es nicht aufging. (Naja, danach kamen dann die Zahlendreher, irgendwie krass, wie man sich in was verfahren kann, und haben mich blutend liegen gelassen *g*)

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