Beweise Wurzel 13 und Wurzel 8 sind irrational

22.07.2014, 19:55

Lysis

Beweise Wurzel 13 und Wurzel 8 sind irrational

Meine Frage:
Ich bin mir nicht sicher, ob ich bei meinen Beweisen richtig vorgegangen bin, da wir bis jetzt nur den Beweis zu Wurzel 2 besprochen haben..

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} Annahme: \sqrt{13} \text { lässt sich durch einen vollständig gekürzten Bruch } \frac{p}{q} \text { darstellen mit p,q} \in \mathbb N . \sqrt{13} = \frac{p^2}{q^2} \Rightarrow 13q^2= p^2 \Rightarrow p^2 \text { ist teilbar durch 13 } \Rightarrow \text { p ist teilbar durch 13} \Rightarrow p=13n, n\in \mathbb N Eingesetzt: 13q^2=169n^2 \Rightarrow q^2=13n^2 \Rightarrow q^2 \text { ist teilbar durch 13 } \Rightarrow \text { q ist teilbar durch 13} \text { Widerspruch zur Annahme, dass der Bruch vollständig gekürzt ist! } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Annahme: \sqrt{8} \text { lässt sich durch einen vollständig gekürzten Bruch } \frac{p}{q} \text { darstellen mit p,q} \in \mathbb N . \sqrt{8} = \frac{p^2}{q^2} \Rightarrow 8q^2= p^2 \Rightarrow p^2 \text { ist teilbar durch 8 } \Rightarrow \text { p ist teilbar durch 8} \Rightarrow p=8n, n\in \mathbb N Eingesetzt: 8q^2=64n^2 \Rightarrow q^2=8n^2 \Rightarrow q^2 \text { ist teilbar durch 8 } \Rightarrow \text { q ist teilbar durch 8} \text { Widerspruch zur Annahme, dass der Bruch vollständig gekürzt ist! } \end{eqnarray*}$

22.07.2014, 20:11

Helferlein

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Der erste Beweis ist korrekt, der zweite leider nicht.
Für p=4 ist beispielsweise 8 ein Teiler von p², nicht aber von p .

22.07.2014, 20:23

Leopold

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Hier eine verwandte Argumentation, die ich aber viel eingänglicher finde.

22.07.2014, 20:53

Lysis

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$\begin{eqnarray*} Annahme: \sqrt{8} \text { lässt sich durch einen vollständig gekürzten Bruch } \frac{p}{q} \text { darstellen mit p,q} \in \mathbb N . \sqrt{8} = \frac{p^2}{q^2} \Rightarrow 2*4q^2= p^2 \Rightarrow p^2 \text { ist teilbar durch 2 } \Rightarrow \text { p ist teilbar durch 2} \Rightarrow p=4n, n\in \mathbb N Eingesetzt: 8q^2=16n^2 \Rightarrow q^2=2n^2 \Rightarrow q^2 \text { ist teilbar durch 2 } \Rightarrow \text { q ist teilbar durch 2} \Rightarrow q=2m, m\in \mathbb N \Rightarrow \frac{p}{q} = \frac{4n}{2m} \text { Widerspruch zur Annahme, dass der Bruch vollständig gekürzt ist! } \end{eqnarray*}$

Vielen Dank schon mal für eure Hilfe! smile

Stimmt der Beweis den jetzt so?

Bei Primzahlen unter der Wurzel folgen die Beweise also immer analog zum Beweis mit Wurzel 13, oder? Also die 13 wird quasi nur durch die jeweilige ungerade Zahl ersetzt, richtig? smile

22.07.2014, 21:11

Helferlein

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22.07.2014, 21:34

Lysis

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Wie mir gerade aufgefallen ist, habe ich ja noch einen "Fall" vergessen: Und zwar wenn unter der Wurzel ungerade Zahl (keine Primzahl) steht.

$\begin{eqnarray*} Annahme: \sqrt{15} \text { lässt sich durch einen vollständig gekürzten Bruch } \frac{p}{q} \text { darstellen mit p,q} \in \mathbb N . \sqrt{15} = \frac{p^2}{q^2} \Rightarrow 3*5q^2= p^2 \Rightarrow p^2 \text { ist teilbar durch 3 } \Rightarrow \text { p ist teilbar durch 3} \Rightarrow p=3n, n\in \mathbb N Eingesetzt: 15q^2=9n^2 \Rightarrow 5q^2=3n^2 \Rightarrow 5q^2 \text { ist teilbar durch 3 } \Rightarrow q^2 \text { ist teilbar durch 3 } \Rightarrow \text { q ist teilbar durch 3} \Rightarrow q=3m, m\in \mathbb N \Rightarrow \frac{p}{q} = \frac{3n}{3m} \text { Widerspruch zur Annahme, dass der Bruch vollständig gekürzt ist! } \end{eqnarray*}$

Bitte sagt mir, dass das stimmt! Big Laugh

22.07.2014, 22:09

mYthos

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Zitat:

Original von Lysis
...
$\begin{eqnarray*} \sqrt{15} = \frac{p^2}{q^2} \ldots \end{eqnarray*}$
...

Du machst (bisher bei allen diesbezüglichen Posts) immer den gleichen (Form-)Fehler.
Entweder lässt du links die Wurzel weg, oder rechts die Quadrate.
So wie es oben steht, stimmt es nicht.

Das andere geht klar.

mY+

22.07.2014, 22:26

Lysis

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Danke, ist aber zum Glück nur ein Tippfehler, der sich dann durch ständiges Kopieren aufsummiert hat. Augenzwinkern

10.11.2015, 19:36

MacMesserig

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Rückschluss, dass p durch 13 teilbar

Zitat:

=> p^2 ist durch 13 teilbar

Zitat:

=> p ist durch 13 teilbar

Wie ist dieser Schluss gerechtfertigt? Stehe vor einer ähnlichen Aufgabe Big Laugh

10.11.2015, 20:11

ollie3

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RE: Rückschluss, dass p durch 13 teilbar
Hallo,
Das liegt an der Eindeutigkeit der Primfaktorenzerlegung:
p^2 hat dieselben Primfaktoren wie p, nur eben alle doppelt. Augenzwinkern

Gruss ollie3

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