Zeigen, dass f nicht total diffbar

22.07.2014, 20:23

Matheneuling1991

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Zeigen, dass f nicht total diffbar

Gegeben sei eine Funktion R^2->R als Komposition stetiger Funktionen,für alle (x,y) ungleich (0,0) und für (0,0) ist die Funktion 0.
Nun soll man zeigen, dass die Funktion in besagtem Punkt (0,0) nicht total diffbar ist;
Wie kann ich das anstellen?
Die Richtungsableitungen in diesem Punkt existieren alle.. Die Definition der totalen Diffbarkeit hilft wohl nur beim zeigen, dass die Funktion diffbar ist und nicht beim widerlegen;
Jemand eine Idee? smile

smile

22.07.2014, 22:27

Matheneuling1991

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Okay, ich denke, das ist etwas zu vage gewesen;
Hier mal die Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}\forall (x,y)\neq (0,0), 0 \text{ sonst } \end{eqnarray*}$

22.07.2014, 22:29

bijektion

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Berechne $\begin{eqnarray*} \mathcal{J}_f(0) \end{eqnarray*}$ und schau mal was passiert Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.07.2014, 22:32

Matheneuling1991

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Danke für deine Antwort! smile

smile

Ich bin allerdings nicht ganz mit deiner Noration vertraut... Was meinst du mit
$\begin{eqnarray*} \mathcal{J}_f(0) \end{eqnarray*}$ ?

22.07.2014, 22:35

bijektion

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Die Jacobimatrix von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im Nullpunkt, bzw. hier ist ja $\begin{eqnarray*} \mathcal{J}_f(0)=\nabla f(0) \end{eqnarray*}$ .

22.07.2014, 22:42

Matheneuling1991

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Ich nehme ja dort wirklich die Ableitung an der Stelle 0 und nehme nicht den Grenzwert einer Folge die gegen 0 konv., richtig?
Also:
$\begin{eqnarray*} \mathcal{J}_f(0)=\begin{pmatrix} 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Richtig so weit?

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22.07.2014, 22:46

bijektion

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Du berechnest $\begin{eqnarray*} D_1f(0)=\lim_{h\to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} \end{eqnarray*}$ bzw. das analogon für $\begin{eqnarray*} D_2f(0) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \mathcal{J}_f(0)=\begin{pmatrix} 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sollte passen. Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im Nullpunkt diff'bar, so gilt $\begin{eqnarray*} Df(0)\cdot h=\mathcal{J}_f(0)\cdot h \end{eqnarray*}$ , jetzt müssen wir nur noch zeigen, dass das nicht sein kann smile

smile

22.07.2014, 22:50

Matheneuling1991

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$\begin{eqnarray*} \mathcal{J}_f(0)* \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\neq D_vf(0,0)=\lim_{t \to 0} \frac{f(0+tv)-f(0,0)}{t}=\frac{x^2y}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$
So?

EDIT: Der einzige Unterschied zwischen der Variante, der du in der Zwischenzeit gepostet hast und meiner ist, dass ich den allgemeinen Fall angenommen habe und du jeweils die Richtungsableitung in x bzw. y Richtung, weshalb wohl beides als Beweis ausreichend ist? smile

smile

22.07.2014, 22:54

bijektion

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Also ich hätte jetzt gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-\mathcal{J}_f(0)\cdot h}{||h||}\neq 0 \end{eqnarray*}$ , aber eigentlich sollte deine Variante so auch legitim sein smile

smile

22.07.2014, 22:59

Matheneuling1991

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Nur mal zum Verständnis - Was habe ich jetzt so genau nachgewiesen?
Ich habe nachgewiesen, dass die partiellen Ableitungen nicht alle stetig sind, richtig? smile

smile

22.07.2014, 23:17

bijektion

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Ja, es können nicht alle partiellen Ableitungen stetig sein, sonst wäre $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ differenzierbar. Das reicht allerdings nicht: es gibt durchaus differenzierbare Funktionen, die unstetige partielle Ableitungen besitzen.

Es gilt aber: Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist, dann ist die Jacobi-Matrix die einzige Darstellung, also muss die Bedingung $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-\mathcal{J}_f(0)\cdot h}{||h||}= 0 \end{eqnarray*}$ erfüllt sein. Ist sie das nicht, so kann $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht diff'bar sein.

Dein Argument sollte aus gleichen Gründen gelten.

23.07.2014, 18:50

Matheneuling1991

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Okay, sorry, dass ich das immer noch nicht ganz verstehe und das Thema noch einmal aufleben lasse smile

smile

Du sagst, es muss folgendes gelten:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-\mathcal{J}_f(0)\cdot h}{||h||}= 0 \end{eqnarray*}$

Aber ist das nicht gerade der Test, ob die partielle Ableitung im Punkt 0 stetig ist?

23.07.2014, 20:41

bijektion

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Ja, das müsste gelten, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ diff'bar im Nullpunkte wäre.

Zitat:

Aber ist das nicht gerade der Test, ob die partielle Ableitung im Punkt 0 stetig ist?

Nein, hier ist $\begin{eqnarray*} h\in\mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ smile

smile

26.07.2014, 13:39

Matheneuling1991

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Okay, ein neuer Versuch.. Big Laugh

Big Laugh

Wenn f total diffbar im Punkt (0,0) ist, dann müssen alle Richtungsableitungen existieren, d.h. die Ableitung bzgl. einer bestimmten Geraden muss immer stetig sein;
Wenn ich mich bei der Ableitung aber dem Punkt (0,0) anders annähre, z.B. in Parabelform etc. und dann ist die Ableitung nicht stetig, kann f trotzdem total diffbar sein, richtig? smile

smile

26.07.2014, 13:51

bijektion

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Wenn ich das richtig verstehe, nein Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.07.2014, 14:29

Matheneuling1991

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Verdammt

Big Laugh

27.07.2014, 19:55

bijektion

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Vielleicht hilft dir das: "Alle partiellen Ableitungen stetig $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Differenzierbar"

Die Rückrichtung gilt im allgemeinen nicht smile

smile

29.07.2014, 14:54

Matheneuling1991

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Nein, leider auch nicht.. smile

smile

Das wusste ich bereits.. smile

smile

Okay, kannst du mir vll in 2-3 Sätzen ohne Formeln erklären, was du genau überprüfst bzw. welche Bedingungen erfüllt sein müssen, damit f im Punkt (0,0) total diffbar ist? smile

smile

Und sorry, dass ich es nicht verstehe unglücklich

unglücklich

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