Kurvenlänge berechnen/ Integral gebr. rat. funktion

23.07.2014, 00:49	Katzenjoe	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvenlänge berechnen/ Integral gebr. rat. funktion Hallo ich habe folgende Aufgabe : Bestimmen Sie die Länge der Kurve, die durch die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)= \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} ln(x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ im Intervall $\begin{eqnarray} I=[\frac{1}{2};2] \end{eqnarray}$ gegeben ist. Formel für die Bogenlänge ist: $\begin{eqnarray} s= \int_a^b \! \sqrt{1+[f'(x)]^{2} } \, dx \end{eqnarray}$ das heißt ich berechne erstmal f'(x) : $\begin{eqnarray} f'(x)= \frac{x}{2} -\frac{1}{2x} \end{eqnarray}$ ausgerechnet also $\begin{eqnarray} \frac{x^{2} -1}{2x} \end{eqnarray}$ Quadriert: $\begin{eqnarray} f'^{2} (x) = \left(\frac{x^{2} -1}{2x}\right) ^{2} \end{eqnarray}$ ausgerechnet $\begin{eqnarray} \frac{x^{4}-2x^{2}+1}{4x^{2}} \end{eqnarray}$ in die Bogenformel eingesetzt: $\begin{eqnarray} s=\int_\frac{1}{2} ^2 \! \sqrt{ 1+\frac{x^{4}-2x^{2}+1}{4x^{2}}} \, dx \end{eqnarray}$ Brüche addieren: $\begin{eqnarray} s=\int_\frac{1}{2} ^2 \! \sqrt{ \frac{x^{4}+2x^{2}+1}{4x^{2}}} \, dx \end{eqnarray}$ als Binom umschreiben: $\begin{eqnarray} s=\int_\frac{1}{2} ^2 \! \sqrt{ \frac{\left(x^{2}+1\right)^{2} }{4x^{2}}} \, dx \end{eqnarray}$ da x> 0 Wurzel ziehen: $\begin{eqnarray} s=\int_\frac{1}{2} ^2 \! \frac{x^{2}+1 }{2\|x\| } \, dx \end{eqnarray}$ Und da hörts nun für mich auf. Bzw. fällt mir keine Substitution ein oder Irgendwas wie ich auf das Integral komme oder wie man das mit nem Trick irgendwo weiter oben auflösen könnte. Wäre also sehr dankbar für ein wenig Hilfe.
23.07.2014, 00:55	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Da x>0 kannst du den Betrag wegfallen lassen. Und $\begin{eqnarray} \frac{x^2+1}{2x}=\frac{x^2}{2x}+\frac{1}{2x}=\frac{x}{2}+\frac{1}{2x} \end{eqnarray}$ kannst du sicherlich ganz leicht integrieren.
23.07.2014, 01:37	Katzenjoe	Auf diesen Beitrag antworten »
Mensch danke, genau sowas meinte ich mit Trick manchmal sieht man den Baum vor lauter Wald nicht und der Vollständigkeit halber nochmal: $\begin{eqnarray} s=\int_\frac{1}{2} ^2 \! \frac{1}{2} x +\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} s= \left[\frac{1}{4} x^{2} +\frac{1}{2} \cdot ln(x) \ \right]_{\frac{1}{2}}^{2} \! \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s= \left[ \frac{15}{16} + ln(2) \right] \end{eqnarray}$ macht $\begin{eqnarray} s \approx 1,63 LE \end{eqnarray}$
23.07.2014, 09:21	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Wann immer du einen Bruch integrieren möchtest wo nur eine Zahl im Nenner steht, empfiehlt sich dieser "Trick". Das Ergebnis sollte passen.

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