Implizite Funktion ableiten, Klausuraufgabe

23.07.2014, 12:24	zingzong	Auf diesen Beitrag antworten »
Implizite Funktion ableiten, Klausuraufgabe Hallo Leute, ich bräuchte mal eine kleine Hilfestellung. Folgende Aufgabe aus der Klausurvorbereitung: Gegeben ist eine Funktion $\begin{eqnarray} F(x,y)=x^{4}- 4xy-1 \end{eqnarray}$ . Durch $\begin{eqnarray} F(x,y)=0 \end{eqnarray}$ ist in einer Umgebung U von $\begin{eqnarray} x_{0}=1 \end{eqnarray}$ jedem $\begin{eqnarray} x\in U \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} g(x)=y \end{eqnarray}$ aus einer Umgebung um $\begin{eqnarray} y_{0}=0 \end{eqnarray}$ zugeordnet. Bestimmen Sie $\begin{eqnarray} g'(x) \end{eqnarray}$ . Jetzt kommt das Problem: Ich dachte, das geht nach dem Ansatz $\begin{eqnarray} y'= -\frac{F_{x}}{F_{y}} \end{eqnarray}$ (steht ja auch so im Merziger, $\begin{eqnarray} y=h(x) \end{eqnarray}$ ); dann setz ich nur noch x=1 und y=0 ein und fertig ist der Lack. Hab ich gemacht, und raus kommt natürlich $\begin{eqnarray} g'(x)=\frac{4x^{3}-4y}{4x} \end{eqnarray}$ . Spaßeshalber (1;0) einsetzen liefert auch $\begin{eqnarray} g'(1)=1 \end{eqnarray}$ , stimmt laut Lösung auch. ABER: Laut Lösung ist $\begin{eqnarray} g'(x)=\frac{3x^{4}+1}{4x^{2}} \end{eqnarray}$ . Kann mir jemand sagen, was genau ich falsch gemacht habe?
23.07.2014, 12:32	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du musst dein $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} g'(x) \end{eqnarray}$ noch durch $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ersetzen. Das kannst du ganz einfach durch die Beziehung $\begin{eqnarray} F(x,y)=0 \end{eqnarray}$ machen.
23.07.2014, 12:42	zingzong	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktioniert, herzlichen Dank Könntest du mir eventuell noch ganz kurz erklären, warum man das macht? Ich hab es jetzt so verstanden, dass wir eine Funktion g'(x) suchen, die ja nur x als Variable beinhalten darf, deswegen müssen wir nach dem partiellen Ableiten noch ersetzen. eigentlich würden wir das schon vorher machen, können wir aber nicht, weil wir ja nur eine Funktion F gegeben haben. Richtig?
23.07.2014, 12:47	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast dir deine Antwort bereits selbst gegeben Hier in diesem speziellen Fall könnte man eigentlich auch vorher schon direkt g(x) bestimmen. Insofern finde ich diese Aufgabe eigentlich nicht so geeignet um die Nützlichkeit des Satzes über implizite Funktionen aufzuzeigen.

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