Holomorphie

23.07.2014, 17:20

Mathelover

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Holomorphie

Hallo liebe Boardies,

ich bin gerade an einem Übungsblatt (Funktionentheorie). Ich soll folgende Funktion auf komplex differenzierbarkeit und holomorphie überprüfen:

$\begin{eqnarray*} f(x+iy) = x^2+iyx \end{eqnarray*}$

Die Musterlösung sagt: f ist nur bei z = 0 komplex differenzierbar.
f ist jedoch nirgends holomorph, es gilt nämlich:

$\begin{eqnarray*} f'(0) = ux(0,0) +iy(0,0) = 0. \end{eqnarray*}$

Wie erkennt man denn an der obigen Gleichung, dass f nirgends holomorph ist.

f heißt ja holomorph, wenn f zu jedem z differenzierbar ist.

23.07.2014, 18:59

Jayk

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Nein: Während komplexe Differenzierbarkeit eine Eigenschaft jedes Punktes ist, ist Holomorphie für offene Mengen definiert. Und da {0} keine offene Menge ist, ist f nicht holomorph.

23.07.2014, 19:07

Leopold

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RE: Holomorphie

Zitat:

Original von Mathelover
f heißt ja holomorph, wenn f zu jedem z differenzierbar ist.

Das ist falsch.
Für die Holomorphie in $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ genügt die komplexe Differenzierbarkeit in $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ nicht. Vielmehr wird die komplexe Differenzierbarkeit in einer ganzen Umgebung von $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ gefordert.

Zitat:

Original von Mathelover
f ist jedoch nirgends holomorph, es gilt nämlich:

$\begin{eqnarray*} f'(0) = ux(0,0) +iy(0,0) = 0. \end{eqnarray*}$

Das "nämlich" klingt so, als ob danach eine Begründung folgen würde. Ich kann diese in der Gleichung aber nicht erkennen.

Zitat:

Original von Mathelover
$\begin{eqnarray*} f'(0) = ux(0,0) +iy(0,0) = 0. \end{eqnarray*}$

Fünfmal habe ich das gelesen, und ich habe es immer noch nicht verstanden. Meinst du vielleicht

$\begin{eqnarray*} f'(0) = u_x(0,0) + \operatorname{i} v_x(0,0) = 0 \end{eqnarray*}$

23.07.2014, 19:37

Mathelover

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RE: Holomorphie
In der Tat Leopol, hab mich vertippt, richtig heißt es:

$\begin{eqnarray*} f'(0) = u_{x}(0,0)+iv_{x}(0,0) = 0 \end{eqnarray*}$ und diese Gleichung sollte sich eigentlich auf die Aufgabenstellung beziehen, da wird nämlich nach der Ableitung von f gefragt, falls diese existiert.

Aber woran erkenne ich denn, dass f nirgends holomorph ist?

Also wir haben Holomorphie folgendermaßen definiert:

$\begin{eqnarray*} <br /> f: D -> C \end{eqnarray*}$

D Teilmenge aus C und offen

f heißt auf D holomorph (analytisch) <=> f ist zu jedem z aus D differenzierbar.

23.07.2014, 19:40

Leopold

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Wie du selbst siehst, kommt in dieser Definition ein $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ vor. Das hast du in deiner Frage aber gar nicht angegeben. Sie ist daher unvollständig gestellt.

23.07.2014, 19:48

Jayk

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Insbesondere wird aber gefordert, dass D offen ist. Mein Tutor betont gefühlt jede Stunde, dass man für Holomorphie offene Mengen braucht.^^

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23.07.2014, 19:54

Leopold

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Für die globale Holomorphie schon. Für die Holomorphie in einem Punkt nicht. Aber das ist schon Haarspalterei.

23.07.2014, 19:59

Mathelover

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Zitat:

Original von Jayk
Insbesondere wird aber gefordert, dass D offen ist. Mein Tutor betont gefühlt jede Stunde, dass man für Holomorphie offene Mengen braucht.^^

Das habe ich verstanden. Danke zunächst einmal. Aber jetzt übertragen auf die Aufgabe. Was wäre dann mein D bei f?

23.07.2014, 20:02

Leopold

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Das sollte bei der Aufgabe stehen.

23.07.2014, 20:05

Mathelover

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Das steht aber nicht in der Aufgabe.
Da steht nur: Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit, das Erfüllen der CRD, reelle bzw. komplexe Diffbarkeit, sowie Holomorphie. Gegen Sie, dort wo sie existiert, die Ableitung f' an.

a) f(z) = z Re z

Wie soll ich jetzt erkennen, dass f nirgends holomorph ist, wenn ich D nicht kenne?

23.07.2014, 20:07

Jayk

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Ehrlich gesagt, ist mir bis jetzt nie die Formulierung, eine Funktion sei an einem Punkt holomorph, untergekommen, sondern immer nur, sie sei es auf einer Menge. Ist aber auch egal, wie man es nun formuliert: Ich denke, es ist klar, dass die komplexe Differenzierbarkeit an einem isolierten Punkt für Holomorphie nicht ausreicht.

23.07.2014, 20:13

Leopold

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RE: Holomorphie

Zitat:

Original von Mathelover
Wie soll ich jetzt erkennen, dass f nirgends holomorph ist, wenn ich D nicht kenne?

Wenn da nichts steht, so ist als Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} D = \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ anzunehmen. Die Stetigkeit dürfte klar sein. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen sind nur für $\begin{eqnarray*} z_0 = 0 \end{eqnarray*}$ erfüllt. Also ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ dort differenzierbar. Die Ableitung hast du berechnet:

$\begin{eqnarray*} f'(0) = 0 \end{eqnarray*}$

Und jetzt beachte oben das Wörtchen "nur". Das ist hier entscheidend. Vergleiche das noch einmal mit meiner Definition

Zitat:

Original von Leopold
Für die Holomorphie in $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ genügt die komplexe Differenzierbarkeit in $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ nicht. Vielmehr wird die komplexe Differenzierbarkeit in einer ganzen Umgebung von $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ gefordert.

23.07.2014, 20:22

Mathelover

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Das heißt also, mein f ist nur im Punkt z=0 komplex differentierbar, da CRD nur im Punkt z0=0 erfüllt ist. Bis hier hin alles ok. Wenn ich auf deine Definition schaue, reicht dieser Punkt z=0 also nicht aus. Vielmehr muss ich eine Umgebung um z0 finden, sodass f in z0 holomorph ist?

Mit dem Begriff Umgebung kann ich aber nicht soviel anfangen. Muss ich jetzt zeigen, dass kein epsilon existiert sodass ich keine Umgebung um z0 bilden kann?

23.07.2014, 20:27

Jayk

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Noch eine Anmerkung: "Holomorphie" bedeutet dem Wortursprung nach, dass die Funktion "im Ganzen verformt": zum Beispiel werden Gebiete auf Gebiete abgebildet, Schnittwinkel bleiben erhalten, ... Das setzt natürlich voraus, dass man etwas hat, was verformt werden kann. Wie man nun im Detail definiert, ist nicht so wichtig. Wie gesagt, kannte ich nur Holomorphie auf eine Menge bezogen, aber in gewisser Weise ist das mit Leopolds Definition äquivalent. Eine offene Menge zu haben, heißt ja, dass jeder Punkt eine Umgebung hat, die ganz in der Menge enthalten ist. Wenn f nur in einem Punkt komplex differenzierbar ist, kann es offensichtlich keine offene Menge geben, in der f in jedem Punkt komplex differenzierbar wäre, weil du eben um diesen Punkt keine Umgebung finden kannst.

Warum man das so definiert, wirst du vielleicht verstehen, wenn du fortgeschrittener in der Funktionentheorie bist:
1. Integrationstheorie: Man will Kurven, die in dem Holomorphiebereich liegen.
2. analytisch = Funktion ist um jedem Punkt in einer Umgebung als Potenzreihe darstellbar. Das ist die eigentliche Wortbedeutung, aber aus der verallgemeinerten Cauchyschen Integralformel kann man folgern, dass das mit Holomorphie äquivalent ist.
3. Jede holomorphe Funktion ist unendlich oft stetig differenzierbar. Das setzt natürlich auch voraus, dass es bei der Ableitung noch etwas zu differenzieren gibt.

23.07.2014, 20:30

Leopold

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Umgebungen von $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ sind Obermengen offener Mengen, die $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ enthalten. Du müßtest also für die Holomorphie in $\begin{eqnarray*} z_0=0 \end{eqnarray*}$ eine offene Menge $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 \in U \end{eqnarray*}$ angeben, so daß $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in ganz $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ komplex differenzierbar ist. Wie soll das aber gehen, wo es gar keinen weiteren Punkt gibt, in dem $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ komplex differenzierbar ist?

23.07.2014, 20:33

Mathelover

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Okay super vielen Dank, jetzt habe ich es verstanden smile

smile

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