Gleichungssystem Determinante Koeffizientenmatrix |
| 23.07.2014, 17:40 | cerealien | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Gleichungssystem Determinante Koeffizientenmatrix ich schreibe demnächst eine Mathe-Prüfung (Höhere Mathematik I.1) und hänge bei einigen Aufgaben. In der folgenden soll man die Determinante der Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems bestimmen. Ich habe bereits angefangen die Determinanten zu bestimmen, hänge jetzt aber daran, dass ich die 3x3 Matrizen mit Hilfe der Cramerschen Regel ausgerechnet habe und nicht weiter komme. Ich habe im Anhang mal ein Bild hinterlegt, wie weit ich bis jetzt gekommen bin. [attach]34950[/attach] Vielen Dank für alle Hilfestellungen. |
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| 23.07.2014, 19:45 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Irgend etwas bringst Du da durcheinander: Die Cramerregel löst GLS mit drei Unbekannten und drei Gleichungen. Determinanten von 3x3-Matrizen berechnet man hingegen entweder durch Entwicklung nach einer Zeile/Spalte oder mit der Sarrus-Regel. Letzteres scheinst Du auch gemacht zu haben. Da die gepostete Aufgabe nur war, die Determinante der Koeffizientenmatrix zu bestimmen, hätte es gereicht einmal den Nenner deiner drei Werte auszurechnen. Sollte es hingegen noch um die Frage gehen, wann die Lösung eindeutig ist, dann musst Du die Nullstellen der Determinante berechnen. |
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| 23.07.2014, 20:09 | cerealien | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, das ist mein Fehler. Ich hatte mir dazu ein Youtube-Tutorial angeschaut in dem um das auflösen solcher Gleichungssystem ging, denn im Endeffekt sind die Koeffizienten der Matrix nichts anderes. Daher habe ich das ein bisschen durcheinander gebracht. Die Aufgabenstellung ist um einiges umfangreicher. Ich poste sie mal eben: a) Berechnen Sie die Determinante der Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems! b) Für welche » ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar? c) Für welche » ist das Gleichungssystem mehrdeutig lösbar? d) Für welche » ist das Gleichungssystem unlösbar? e) Berechnen Sie die allgemeine Lösung im Falle c)! f) Wie können die Ergebnisse von b) – d) geometrisch interpretiert werden? Also hätte ich damit Aufgabe a) richtig gelöst? |
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| 23.07.2014, 21:15 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn deine Antwort lautet, dann ja 
b) ergibt sich direkt daraus c)-e) kannst Du entweder mit Cramer angehen, oder dem Gauß-Algorithmus. Evt. auch einfach nur durch Einsetzen in das System. |
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| 24.07.2014, 15:27 | cerealien | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, das wäre meine Antwort! 
Inwiefern ergibt sich b) daraus? Könntest du mir ein paar kleine Hilfestellungen geben? Ich bin nicht wirklich ein Mathe-Ass. 
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| 24.07.2014, 15:48 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Formulieren wir die Frage so: welche Eigenschaft muß det(A) erfüllen, damit es eine eindeutige Lösung gibt? |
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| 24.07.2014, 16:10 | cerealien | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sie muss eine reelle Zahl sein? |
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| 24.07.2014, 16:38 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mit einem Schuss ins blaue kommen wir nicht weiter. Lies erst einmal in deinen Unterlagen nach, welche Werte die Determinante annehmen muss, damit eine eindeutige Lösung vorliegt. Sollte Dir das zuviel Aufwand sein, dann überleg Dir, wann die Lösungsformeln, die Du oben angegeben hast, Probleme bereiten. Für welche Werte der Determinante von A ist der Bruch nicht berechenbar? |
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| 24.07.2014, 17:02 | cerealien | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hatte das bereits vorhin nach geschlagen, aber in meinem Skript steht nichts dazu und das in meinen Übungsunterlagen verstehe ich nicht so ganz um ehrlich zu sein. Und zu viel Aufwand ist es mir bestimmt nicht, ich bin wirklich froh über die Hilfe hier! Der Bruch dürfte nicht berechenbar für Null sein, oder? Also muss die Determinante ungleich Null sein. |
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| 24.07.2014, 19:52 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtig 
Ein GLS ist eindeutig lösbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich Null ist. Das brauchst Du für b) Für c) und d) würde ich die übrigen Lösungen einsetzen und mir das GLS genauer anschauen. |
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| 24.07.2014, 20:43 | cerealien | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sehr gut! Mit übrigen Lösungen meinst du alle Werte außer Null oder was genau meinst du? |
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| 24.07.2014, 20:46 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da Du erst alle Werte bestimmt hast, für die die Determinante den Wert 0 hat, bleiben nur noch die anderen
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| 24.07.2014, 20:54 | cerealien | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich komme gerade irgendwie nicht mehr mit.
Tut mir leid. |
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| 24.07.2014, 20:57 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
det(A) = 0 hast Du erledigt. Haken dran und fertig. Was passiert, wenn det(A) = 0 wird? Wie sieht das GLS in diesem Fall aus? EDIT/Tipp: Für welche lambda gilt det(A) = 0? |
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| 25.07.2014, 08:49 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gemeint ist vermutlich .
Ein solch elementarer Punkt steht nicht im Skript? Kaum zu glauben.
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| 25.07.2014, 08:51 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Yep. Danke. |
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| 25.07.2014, 14:41 | cerealien | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe jetzt die Gleichung der Determinanten wie folgt versucht zu berechnen: aber jetzt hänge ich bei 
Edit: @klarsoweit: Steht wirklich nichts im Skript dazu. Ich kann gern die Seiten abfotografieren. |
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| 25.07.2014, 14:43 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Äh, sorry, abgesehen von der falschen Umformung ist das Lösen einer quadratischen Gleichung Stoff der Mittelstufe. 
Außerdem muß es heißen. |
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| 25.07.2014, 14:44 | cerealien | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja schon, aber Wurzel ziehen geht ja nicht. Und was ist an der Umformung falsch? Warum denn + 2??? |
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| 25.07.2014, 14:46 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn du durch 3 dividierst (was völlig unnötig ist), mußt du auch das lambda² durch 3 dividieren. Und zum Lösen: ich sage mal das Stichwort pq-Formel. |
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| 25.07.2014, 14:48 | cerealien | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oh man, stimmt. Aber warum jetzt "+2"? Das verstehe ich nicht so ganz. |
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| 25.07.2014, 14:59 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich dachte, man hätte sich auf dieses geeinigt:
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| 25.07.2014, 15:05 | cerealien | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, ich hatte mich nur verschrieben. Aber warum dann +2? Also mit der pq-Formel komme ich auf: |
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| 25.07.2014, 15:12 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sag mal, schaust du nicht richtig hin?
Aus folgt . Außerdem ist die Anwendung der pq-Formel schief gegangen. Du mußt schon die Gleichung nehmen. |
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| 25.07.2014, 15:20 | cerealien | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Achso, jetzt sehe ich erst, dass du mit - 1 multipliziert hast. So, jetzt müsste es aber stimmen: |
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| 25.07.2014, 15:32 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Don't panic!
Stimmt, aber man kann das noch etwas vereinfachen
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| 25.07.2014, 15:43 | cerealien | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtig?
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| 25.07.2014, 15:51 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Prima. Und jetzt weiter mit der Aufgabe... |
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