Dreieckszahlen und vollständige Induktion

23.07.2014, 17:46

GzUr5

Dreieckszahlen und vollständige Induktion

Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich hoffe ich habe die Frage hier in den Richtigen Bereich des Forums gepostet - wenn nicht, dann sorry.
Ich soll im Moment einen formal deduktiven Beweis führen und zeigen, dass sich bei den Dreieckszahlen immer zwei ungeraden mit zwei geraden Zahlen abwechseln.

Meine Ideen:
Meine erste Idee war das ganze über eine vierschrittige vollständige Induktion zu machen. Dabei möchte ich zeigen, dass jede vierte Dreieckszahl ab der Ersten ungerade, jede vierte Dreieckszahl ab der Zweiten ungerade, jede vierte Dreieckszahl ab der Dritten gerade und jede Vierte Dreieckszahl ab der Vierten gerade ist - also das
$\begin{eqnarray*} 2 \nmid \sum_{k=1}^{1+4t}k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2 \nmid \sum_{k=1}^{2+4t}k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2 | \sum_{k=1}^{3+4t}k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2 | \sum_{k=1}^{4+4t}k \end{eqnarray*}$
Mein Problem ist nun jedoch, dass die Vollständige Induktion bei mir nicht aufgeht und ich schon am Ersten Fall hängen bleibe (siehe Bild). Wäre klasse, wenn mit jemand meinen Fehler sagen kann.

23.07.2014, 21:36

Guppi12

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Hallo,

2 Dinge:

1. du musst hier im Induktionsanfang natürlich nicht nur eine, sondern gleich 4 Teilbarkeitsrelationen überprüfen.

2. Du hast bei der Summe im Induktionsschritt 3 Summanden unterschlagen. Es kommen 4 neue hinzu, du ziehst aber nur einen herunter.

(selbstverständlich beinhaltet auch der Induktionsschritt 4 Teile)

24.07.2014, 08:46

klarsoweit

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RE: Dreieckszahlen und vollständige Induktion
Hinweis am Rande: eigentlich reicht es, nur dieses:

Zitat:

Original von GzUr5
$\begin{eqnarray*} 2 \nmid \sum_{k=1}^{1+4t}k \end{eqnarray*}$

zu zeigen. Der Rest folgt dann daraus. smile

24.07.2014, 17:32

GzUr5

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Hallo und vielen dank schonmal für eure Antworten smile

@ Guppi 12
Deinen ersten Einwand verstehe ich schon, denn ich beweise die Aussage hier ja nur für die Folgenglieder 1,5,9 ... (bzw. versuche es)
Das zweite verstehe ich aber noch nicht ganz - was meinst du denn mit den drei weiteren 3 Summanden die ich unterschlagen habe. Ich habe mir das einfach so gedacht:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{1+4(t+1)}k = 0 + 1 + 2 + \dots + (1+4t) + (1+4[t+1]) = 1+4(t+1) + sum_{k=0}^{1+4t}k \end{eqnarray*}$
Ich sehe einfach nicht, wo ich die anderen deri folgenglieder hernehmen soll bzw. welche das sind.

24.07.2014, 17:36

GzUr5

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Sorry, ich meine natürlich:

"Ich sehe einfach nicht, wo ich die anderen Drei Summanden hernehmen soll bzw. welche das sind"

24.07.2014, 18:52

RavenOnJ

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Zitat:

Original von GzUr5
Sorry, ich meine natürlich:

"Ich sehe einfach nicht, wo ich die anderen Drei Summanden hernehmen soll bzw. welche das sind"

Du vergisst 1+4t+1, 1+4t+2, 1+4t+3

25.07.2014, 10:23

GzUr5

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Ohhh, jetzt hab ich's auch - stand irgendiwie auf dem Schlauch.
Auf jeden Fall vielen Dank eure Hilfe Big Laugh

25.07.2014, 10:32

HAL 9000

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Nachdem die Sache hier abgeschlossen ist: Eigentlich kann man den Nachweis von

Zitat:

Original von GzUr5
dass sich bei den Dreieckszahlen immer zwei ungeraden mit zwei geraden Zahlen abwechseln.

nahezu formelfrei führen, auf Basis von

gerade + gerade = gerade
gerade + ungerade = ungerade
ungerade + ungerade = gerade

Mit "Typ" bezeichne ich im folgenden die Eigenschaft "gerade" bzw. "ungerade" einer Zahl. Aufgrund der für die Dreieckszahl $\begin{align*} d_n = \sum_{k=1}^n k \end{align*}$ gültigen Rekursion $\begin{align*} d_n = d_{n-1} + n \end{align*}$ kann man sofort folgern

- Ist $\begin{align*} n \end{align*}$ gerade, so haben $\begin{align*} d_{n-1} \end{align*}$ und $\begin{align*} d_n \end{align*}$ denselben Typ.

- Ist $\begin{align*} n \end{align*}$ ungerade, so haben $\begin{align*} d_{n-1} \end{align*}$ und $\begin{align*} d_n \end{align*}$ verschiedenen Typ.

Da sich gerade und ungerade $\begin{align*} n \end{align*}$ im Laufe der Iteration alternierend abwechseln, hat man in der Folge $\begin{align*} d_1,d_2,\ldots \end{align*}$ immer genau zweimal hintereinander denselben Typ, und dann einen Typwechsel. Das ist dann auch schon der ganze Beweis.

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