Menge nicht abgeschlossen und nicht offen

Neue Frage »

24.07.2014, 00:08	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
Menge nicht abgeschlossen und nicht offen Hallo und Guten Abend Ich soll die Menge angeben, die nicht offen und nicht abgeschlossen sind und den Abschluss der entsprechenden Menge angeben. Ich habe folgende Teilmengen: $\begin{eqnarray} \Omega_{1} = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \| \|x\| \leq 1, \|y\| \geq 2, \|z\| \leq 1 \}<br /> <br /> \Omega_{2} = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \| \|x\| > 1, \|y\| > 1, \|z\| < 1 \}<br /> <br /> \Omega_{1} = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \| \|x\| > 2, \|y\| \leq 2, \|z\| < 1 \} \end{eqnarray}$ Wie gehe ich nun bei dieser Aufgabe vor? Ich habe zwar die Definitionen vor mir: offene Menge: EIne Teilmenge $\begin{eqnarray} M \subset X \end{eqnarray}$ heisst offen, wenn jeder Punkt von M ein innerer Punkt ist. abgeschlossene Menge: Eine Teilmenge $\begin{eqnarray} M \subset X \end{eqnarray}$ heisst abgeschlossen, wenn $\begin{eqnarray} X \backslash M \end{eqnarray}$ offen ist. Jedoch kann ich mit diesen Definitionen nichts anfangen .. Und ich würde gern mal wünschen , dass ihr mir ganz einfache Hilfestellungen geben könntet ... Liebe Grüße
24.07.2014, 00:13	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, meine Definition für offene Mengen wäre folgende: Eine Teilmenge $\begin{eqnarray} M \subset X \end{eqnarray}$ heißt offen, falls es für alle $\begin{eqnarray} x\in M \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \varepsilon >0 \end{eqnarray}$ gibt, sodass für die Umgebung $\begin{eqnarray} U_{\varepsilon}(x)\subset M \end{eqnarray}$ gilt. Hilft dir das evtl. schon weiter? Abgeschlossene Mengen kann man auch ähnlich definieren
24.07.2014, 00:25	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Antwort Also bildlich kann ich mir das vorstellen aber ich kann es auf diese Aufgabe nicht anwenden....
24.07.2014, 00:56	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Nehmen wir zuerst etwa $\begin{eqnarray} \Omega_{1} = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \| \|x\| \leq 1, \|y\| \geq 2, \|z\| \leq 1 \} \end{eqnarray}$ . Wir brauchen einen Punkt, der keine solche Umgebung besitzt. Es ist doch etwa $\begin{eqnarray} (1,2,1)\in \Omega_1 \end{eqnarray}$ und für jedes beliebige $\begin{eqnarray} \varepsilon >0 \end{eqnarray}$ schauen wir uns mal $\begin{eqnarray} U_{\varepsilon}(1,2,1) \end{eqnarray}$ an: liegen dort immer nur Punkte, die in $\begin{eqnarray} \Omega_1 \end{eqnarray}$ liegen? Wenn du dir dann $\begin{eqnarray} \Omega_2 \end{eqnarray}$ ansiehst, wirst du festellen, das es hier etwas anders aussieht, allerdings sollte hier die Abgeschlossenheit fehlschlagen. EDIT: Ich bin erstmal bis morgen früh raus
24.07.2014, 06:34	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey )) Vielen vielen Dank für deine Antwort. Also nein ich würde sagen z.B ein Umgebungspunkt für x= 1 wäre auch z.B >1 und somit ist ja dann nicht mehr $\begin{eqnarray} \|x\| \leq 1 \end{eqnarray}$ Kann man das so sagen?? Ich habe es mal bildlich gemalt wie ich es meine alle Punkte rechts von 1 also 1.1 , 5 ,10,.. sind unzulässig weil dann die Bedingung das es in der Menge weiterhin liegt unzulässig ist. --------------hier alle punkte zulässig---------------1] --------hier keine Punkte mehr zulässig --------- Wäre lieb wenn du mir nochmals helfen könntest Lieebe Grüße
24.07.2014, 07:46	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls du schon Eigenschaften der Offenheit und Abgeschlossenheit kennst, kannst du dir die Sache ein Epsilon handsamer gestalten. Zum Beispiel: $\begin{eqnarray} \Omega_1 = A \cap B \cap C \ \ \text{mit} \ \ A = \left\{ \, (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \, \left\| \ \|x\| \leq 1 \, \right. \right\} \, , \ B = \ldots \, , \ C = \ldots \end{eqnarray}$ Jetzt bleibt aber Offenheit wie auch Abgeschlossenheit beim Schnitt endlich vieler Mengen erhalten. Somit braucht man sich erst einmal nur um $\begin{eqnarray} A,B,C \end{eqnarray}$ zu kümmern.
Anzeige

24.07.2014, 07:53	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank Leopold.. Wir haben es nicht so streng mit den Definitionen uns geht es nur darum drüberzuschauen zu denken und ankreuzen welches davon zutrifft .. Gibt es keine einfache Erklärung wo man das sofort sehen kann und dann darauf anwenden kann? Liebe grüße
24.07.2014, 08:27	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt schon Anhaltspunkte: Ungleichungen mit $\begin{eqnarray} < \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} > \end{eqnarray}$ deuten auf Offenheit, solche mit $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ oder Gleichungen deuten auf Abgeschlossenheit hin. Und Mischungen dürften in der Regel auf weder offene noch abgeschlossene Mengen hinweisen. Aber bitte - das ist nur ein Anhaltspunkt! Nimm das ja nicht als vollständige Beschreibung von Offenheit oder Abgeschlossenheit. Es hängt noch von viel mehr ab, welche Art von Menge dadurch charakterisiert wird. Als anschauliche Vorstellung kann Folgendes dienen. Offenheit: Du befindest dich in einem Punkt der offenen Menge. Egal, in welche Richtung du dich wegbewegst, du bleibst in der offenen Menge, solange du dich nur ein kurzes, eventuell sehr, sehr kleines Stück fortbewegst. Abgeschlossenheit heißt, daß das Komplement offen ist: Du befindest dich also an einer Stelle außerhalb der betreffenden Menge. Und wenn du dich von dieser Stelle wegbewegst, bleibst du außerhalb der Menge, solange du dich nur ein kurzes, eventuell sehr, sehr kleines Stück fortbewegst.
24.07.2014, 14:48	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön das war sehr anschaulich.. Nun komme ich auf das Ergebnis : 1 abgeschlossen 2 offen 3. weder offen noch abgeschlossen Abschluss von $\begin{eqnarray} \Omega_{2} = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \|\|y\| \geq 1, \|z\| \leq 1, \|x\| \geq 1 \} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Omega_{3} = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \|\|x\| \geq 2, \|z\| \leq 1, \|y\| \geq 3 \} \end{eqnarray}$ Stimtm das so? Liebe Grüße
24.07.2014, 15:19	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht gut aus. Und da oben von geometrischer Vorstellung gesprochen wurde: Deine drei Mengen sind sämtlich Quader bzw. die Vereinigung von endlich vielen Quadern, die z.T. ins Unendliche ragen. Offen- bzw. Abgeschlossenheit äußert sich hier darin, ob die Grenzflächen dieser Quader zur Menge gehören oder nicht.

Neue Frage »

Antworten »

Menge nicht abgeschlossen und nicht offen

Verwandte Themen