Standardisierung

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24.07.2014, 00:47	MatheLB	Auf diesen Beitrag antworten »
Standardisierung Hallo liebe matheboard-community, ich komme bei dieser Frage nicht weiter: Sei x1,...,xn eine Stichprobe. Finden Sie reelle Zahlen a und b, so dass die transformierte Stichprobe: yi:= a * xi + b, i=1,...,n als arithmetisches Mittel den Wert 0 und als empirische Varianz den Wert 1 annimmt. Also dass das arithmetische Mittel den Wert 0 und die Varianz den Wert 1 annimmt, erreicht wir ja durch: yi = (xi - arithmetisches Mittel) / Varianz. Aber wie soll ich jetzt Werte für a und b finden, wenn ich doch gar keine konkreten Zahlen habe?!
24.07.2014, 16:15	Hasgar	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Standardisierung Du sollst hier a und b nicht in konkreten Zahlen sondern in Abhängigkeit von xi, yi bzw. ihren arithmetischen mitteln/Varianzen angeben.
24.07.2014, 16:31	Hasgar	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Standardisierung Also angenommen Deine Lösung wäre richtig (was nicht der Fall ist...nachrechnen!), d.h. angenommen es gilt yi = (xi - mittel)/varianz, dann wäre das auch umgeformt yi = xi/varianz - mittel/varianz und somit hättest du ein Ergebnis a= 1/varianz und b= - mittel/varianz Aber wie gesagt, Deine Lösung stimmt nicht und Du solltest nochmal nachrechnen mit dem Ansatz $\begin{eqnarray} \\ y_{mittel} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i = 0 \\ y_{varianz} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (y_i - y_{mittel})^2 = 1 \end{eqnarray}$
25.07.2014, 16:16	MatheLB	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, danke! wie sieht es denn mit der Lösung aus: $\begin{eqnarray} a=\frac{ s_{ xy } }{ s^{ 2 }_{ x }} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b = y_{ mittel } - ax_{ mittel } \end{eqnarray}$
28.07.2014, 08:40	Hasgar	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast Dich wohl verrechnet. Ich gebe Dir jetzt Mal den Anfang und den Rest kannst Du dann ausrechnen: $\begin{eqnarray} <br /> y_{mittel} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i= 0<br /> \Rightarrow \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (a x_i + b) = 0<br /> \Rightarrow \frac{1}{n} ( n b + \sum_{i=1}^n a x_i ) = 0<br /> \Rightarrow b + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a x_i = 0<br /> \Rightarrow b + a x_{mittel} = 0<br /> \end{eqnarray}$ Du hast jetzt eine Gleichung mit den Unbekannten a, b. So ähnlich musst Du jetzt die Rechnung mit der Varianz durchführen und dann hast Du am Ende 2 Gleichungen mit den Unbekannten a,b und musst nur noch auflösen. Also nachrechnen: $\begin{eqnarray} <br /> s_y^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n ( y_i - y_{mittel})^2 = 1<br /> \Rightarrow ...<br /> \Rightarrow ...<br /> \end{eqnarray}$
28.07.2014, 23:48	MatheLB	Auf diesen Beitrag antworten »
dann probier ich mal mein Glück! $\begin{eqnarray} s^{2} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n (y_{i} - y_{mittel})^2 = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n (bx_{i} + a - (bx_{mittel} + a)^2 = b^2s^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a = - \frac{1}{sx_{mittel} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b = s \end{eqnarray}$ bin mir jetzt nicht ganz sicher ob das die Frage beantwortet, soweit meine Rechnung richtig ist
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28.07.2014, 23:52	Hasgar	Auf diesen Beitrag antworten »
du machst es zu kompliziert. was ist $\begin{eqnarray} y_{mittel} \end{eqnarray}$ konkret als zahl nach voraussetzung? außerdem ist yi = a xi + b und nicht b xi + a.
29.07.2014, 00:06	MatheLB	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a_{mittel} = 0 \end{eqnarray}$ dann ist a = -1 und b = 0 so richtig?
29.07.2014, 08:22	Hasgar	Auf diesen Beitrag antworten »
nee jetzt kommst du ganz durcheinander ^^ war wohl schon etwas spät gestern. $\begin{eqnarray} a_{mittel} \end{eqnarray}$ gibt es nicht. Nach Voraussetzung ist $\begin{eqnarray} y_{mittel} = 0 \end{eqnarray}$ . Versuch mit der Varianz die Rechnung komplett zu Ende zu führen. Ich helf Dir jetzt Mal eine Zeile weiter: $\begin{eqnarray} y_{varianz} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (y_i - y_{mittel})^2 = 1<br /> \Rightarrow \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n y_i ^2 = 1<br /> \Rightarrow ... \end{eqnarray}$ Jetzt kannst Du yi = a xi + b einsetzen und weiterrechnen.
29.07.2014, 09:34	MatheLB	Auf diesen Beitrag antworten »
danke erstmal, habe jetzt aber 2 Fragen: 1) muss ich denn wenn $\begin{eqnarray} y_{mittel}=0 \end{eqnarray}$ nicht trotzdem das +b behalten? 2) wie kann ich die Summe auflösen, wenn davor 1/n-1 steht?
29.07.2014, 09:45	Hasgar	Auf diesen Beitrag antworten »
zu 1): ich verstehe nicht ganz was du meinst. wo verlierst du denn b? es gilt $\begin{eqnarray} y_{mittel} = 0<br /> b + a x_{mittel} = 0<br /> b = - a x_{mittel}<br /> \end{eqnarray}$ b ist nicht 0 oder hast du etwas anderes gemeint? zu 2): setze erstmal wie gesagt yi = a xi + b ein und dann versuch noch b einzusetzen
29.07.2014, 10:13	MatheLB	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaub ich hab mich jetzt ein mal im Kreis gedreht...irgendwas grundlegendes habe ich wohl nicht verstanden ^^ $\begin{eqnarray} \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n y_i ^2 = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (ax_{i} - ax_{mittel})^2 = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n a^2(x_{i} - x_{mittel})^2 = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = a^2\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_{i} - x_{mittel})^2 = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = a^2s^2_{x} = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a = \frac{1}{s} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b = -ax_{mittel} \end{eqnarray}$
29.07.2014, 10:21	Hasgar	Auf diesen Beitrag antworten »
Jackpot :-) Ich würde nur noch a in die Lösung von b einsetzen, damit du a und b unabhängig voneinander ausrechnen kannst, aber das ist etwas Geschmackssache wie man die Lösung angibt.
29.07.2014, 11:09	MatheLB	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, danke! Ich habe noch eine letzte Frage, falls sich jemand zufällig mit RStudio auskennt. ich habe jetzt die Transformation mit a und b angewendet und die Varianz wird 1, aber das arithmetische Mittel sehr klein negativ...ist das ein Rundungsfehler im Programm? # vorher > mean(Tore) [1] 2.68 > var(Tore) [1] 3.226667 #transformation > ToreNeu <-Tore*(1/sd(Tore))-(mean(Tore)/sd(Tore)) #nachher > mean(ToreNeu) [1] -1.287696e-16 > var(ToreNeu) [1] 1
29.07.2014, 11:28	h4mmer	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, R rechnet numerisch. Soweit ich weiß kann man mit all.equal(x,y) zwei Werte auf numerische Gleichheit überprüfen. Versuch doch mal all.equal(mean(ToreNeu),0). Bin mir aber nicht sicher. Gruß
29.07.2014, 11:35	MatheLB	Auf diesen Beitrag antworten »
> all.equal(mean(ToreNeu),0) [1] TRUE vielen Dank an euch beide

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