Rotation einer Ellipse um einen Punkt

24.07.2014, 01:51

DerHorst

Rotation einer Ellipse um einen Punkt

Meine Frage:
Gegeben sind zwei Parameter $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ , welche eine Ellipse beschreiben.
Um diese Ellipse zu zeichnen, lässt man den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} 0° \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} 360° \end{eqnarray*}$ laufen und kann damit die einzelnen Punkte der Ellipse angeben:
$\begin{eqnarray*} x(\alpha)=a*\cos(\alpha) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y(\alpha)=b*\sin(\alpha) \end{eqnarray*}$
Das ist ja alles recht simpel, aber wie kommt man auf die Punktkoordinaten, wenn die ganze Ellipse um den Winkel $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ um den Mittelpunkt rotiert ist (Beispiel: http://puu.sh/aomAN/6ca5a68576.png )?

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ sei die Hypotenuse des oben beschriebenen Dreiecks mit den Eckpunkten
$\begin{eqnarray*} A(x(\alpha)/y(\alpha)) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} B(0/0) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} C(x(\alpha)/0) \end{eqnarray*}$ .
Der rechte Winkel liegt gegenüber der Seite $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ .
Rotiert man dieses Dreieck am Ursprung bzw. an $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ mit dem Winkel $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ , ergeben sich für die Eckpunkte $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ natürlich neue Werte.
Für die rotierte Ellipse wären die Koordinaten des Eckpunktes $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ entscheidend.
Mein Ergenis ist:
$\begin{eqnarray*} x(\alpha,\delta)=c*\cos(\alpha+\delta) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y(\alpha,\delta)=c*\sin(\alpha+\delta) \end{eqnarray*}$
Da ich das ganze in einem C++-Projekt nutze und dort einige Komplikationen auftreten, möchte ich sicherstellen, dass zumindest der mathematische Ansatz korrekt ist.

24.07.2014, 02:43

frank09

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RE: Rotation einer Ellipse um einen Punkt
Dein Ansatz ist nicht ganz korrekt, weil die Strecke zum Punkt $\begin{eqnarray*} (x(\alpha)|y(\alpha)) \end{eqnarray*}$ mit der x-Achse nicht den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ einschließt.
Richtig wäre eine Multiplikation mit der Drehmatrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x(\alpha,\delta) \\ y(\alpha,\delta) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \cos \delta& -\sin\delta \\ \sin\delta & \cos\delta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(\alpha) \\ y(\alpha) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

24.07.2014, 03:38

DerHorst

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Erstmal danke, so funktioniert es perfekt.
Ich verstehe nur meinen Fehler noch nicht ganz.
$\begin{eqnarray*} \alpha + \delta \end{eqnarray*}$ werden von der Strecke vom Ursprung zum Zielpunkt und der x-Achse eingeschlossen. Dementsprechend müsste ich doch mit Hilfe der Hypotenuse und der Summe der beiden Winkel die Katheten berechnen können. Die Länge der Hypotenuse ist ja unabhängig von der Rotation.

24.07.2014, 15:29

frank09

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RE: Rotation einer Ellipse um einen Punkt

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \alpha + \delta \end{eqnarray*}$ werden von der Strecke vom Ursprung zum Zielpunkt und der x-Achse eingeschlossen.

Nein, weil der Winkel $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ , den die Hypotenuse c vor der Drehung mit der x-Achse einschließt nicht gleich $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist.

$\begin{eqnarray*} \beta=\tan^{-1}\left(\frac{b \sin \alpha}{a \cos \alpha}\right)=\tan^{-1}\left(\frac{b}{a} \tan \alpha\right)\neq \alpha \ \forall a\neq b \end{eqnarray*}$

Die Winkel wären nur bei einem Kreis gleich. Bei der Ellipse wird das Dreick mit der Hypotenuse c gegenüber dem Kreis gestaucht, wodurch sich auch der Winkel zur x-Achse ändert.

Richtig wäre dann
$\begin{eqnarray*} x(\alpha,\delta)=c*\cos(\operatorname{atan2}(b \sin \alpha,a \cos \alpha)+\delta) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y(\alpha,\delta)=c*\sin(\operatorname{atan2}(b \sin \alpha,a \cos \alpha)+\delta) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \operatorname{atan2} \end{eqnarray*}$ ist der Arcusstangens mit zwei Argumenten der auch Winkel über 90° und unter -90° (bzw. von 0-360°) zurückgibt.

Dieser Rechenweg ist aber viel aufwendiger als mit der Drehmatrix.

24.07.2014, 15:55

DerHorst

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RE: Rotation einer Ellipse um einen Punkt
Macht Sinn, habe in meinen Aufzeichnungen einfach mal $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$
vertauscht.
Danke für die detaillierte Erklärung.

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