Potenzial aus Kraftfeld

24.07.2014, 16:25

Theend9219

Potenzial aus Kraftfeld

Hallo

Ich habe ein Kraftfeld $\begin{eqnarray*} \vec{F} = \begin{pmatrix} 2x+z \\ -2y \\ x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und ich soll das Potenzial bestimmen ..

Okay dann dache ich mir:
$\begin{eqnarray*} U = \int \begin{pmatrix} 2x+z \\ -2y \\ x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix} = \int (2x+z)dx -\int 2y dy + \int x dz \end{eqnarray*}$

Und das ist

$\begin{eqnarray*} U = x^{2}+zx -y^{2}+xz \end{eqnarray*}$

Aber das ist falsch die Lösung ist mit einem zx weniger ..

Wo ist mein Fehler?
Wäre lieb wenn ich mal drüberschauen könntet.

25.07.2014, 09:26

Ehos

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Man geht wie folgt vor:
-----------------------------
Zuerst integriert man die x-Komponente nach x, wobei man unbedingt eine Integrationskonstanten einführen muss, welche nur von y,z abhängen darf

$\begin{eqnarray*} U=\int 2x+z\,\,dx=x^2+zx+C(y,z) \end{eqnarray*}$

Die Integrationskonstanten C(y,z) ist noch unbekannt. Die Ableitung dieses Potenzials nach y mit dem noch unbekannten Summanden C(y,z) ergibt

$\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial U}{\partial y}=\tfrac{\partial C}{\partial y} \end{eqnarray*}$

Da die rechte Seite gerade die y-Komponente des Feldes ergeben soll, also -2y, muss die Integrationskonstante lauten

$\begin{eqnarray*} C(y,z)=-y^2+D(z) \end{eqnarray*}$

Dabei wurde wiederum eine Integrationskonstante D(z) eingeführt, die nur von z abhängen darf. Unser Potenzial muss also lauten

$\begin{eqnarray*} U=x^2+zx-y^2+D(z) \end{eqnarray*}$

Die Ableitung dieses Potenzial mit der noch unbekannten Integrationskonstanten D(z) nach z soll die z-Komponente des Feldes ergeben, also x

$\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial U}{\partial z}=x+\tfrac{\partial D}{\partial z} \end{eqnarray*}$

Dies ist nur dann erfüllt, wenn D eine numerische Konstante ist. Damit haben wir das Potenzial wie folgt

$\begin{eqnarray*} U=x^2+zx-y^2+D \end{eqnarray*}$

25.07.2014, 09:34

Bernhard1

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Zitat:

Original von Theend9219
Wo ist mein Fehler?

Du musst hier ein Wegintegral ausrechnen. Mache eine lineare Parametrierung mit t und integriere dann mit dt.

25.07.2014, 09:48

Ehos

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Ich habe meinen letzten Beitrag korrigiert und den Rechenweg mal aufgeschrieben.

25.07.2014, 10:00

Bernhard1

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Zitat:

Original von Ehos
Ich habe meinen letzten Beitrag korrigiert und den Rechenweg mal aufgeschrieben.

Herausgekommen ist eine "schöne" Komplettlösung. Ich will aber gar nicht meckern, weil die Zeit in der angehenden Urlaubszeit eben knapp bemessen ist Big Laugh

25.07.2014, 10:13

Theend9219

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RE: Potenzial aus Kraftfeld
Vielen lieben Dank Telefonmann1 und Ehos!

Dann war ich auf dem falschen Weg!!

Ich kann es jetzt gut nachvollziehen..

Greetings

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