3. Punkt eines Dreiecks im IR3 berechnen

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LostArrow Auf diesen Beitrag antworten »
3. Punkt eines Dreiecks im IR3 berechnen
Meine Frage:
Hallo liebes Forum! Ihr habt mir passiv schon bei vielen Problemen geholfen! Nun meine erste Frage zu der ich nichts passendes finden konnte.
Aus Maschinenbau Ingenieurmathematik I:
Dreieck im IR3:
Gegeben:
Alle Seitenlängen:
e = 3,61 (gegenüber c), f = 8,66 (gegenüber b), g = 6,16 (gegenüber a),

Eckpunkte:
a = (1;2;3), b = (bx;2;bz), c = (6;7;8)

Gesucht:
bx, bz

Meine Ideen:
Ich trau mich gar nicht zu schreiben was ich schon alles probiert habe...
Über den Satz des Pythagoras und Iterationsverfahren bin ich schließlich auf das Ergebnis gekommen. Das ist aber nicht zulässig.
Vielen Dank für eure Hilfe!
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Was heißt, Pythagoras ist nicht zulässig? Darf das Wissen um die Länge zwischen einem Punkt und einem weiteren Punkt , die mit gegeben ist, wirklich nicht verwendet werden?

Viele Grüße
Steffen
 
 
LostArrow Auf diesen Beitrag antworten »

Pythagoras ist schon zulässig, nur die Iterationen aus irgendeinem Grund leider nicht.
Gibt es auch noch andere Wege?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wüsste keinen.

EDIT:
Aber Du brauchst doch gar keine Iterationen, das sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Stell die doch mal auf.

Kommst Du jetzt weiter?
LostArrow Auf diesen Beitrag antworten »

Ich auch nicht. Vllt versucht der Prof uns damit auf einen anderen Weg zu zwängen. Ist eine Transferaufgabe die bestimmt in der Klausur drankommt.

Die zwei Gleichungen mit den zwei Unbekannten aus dem Pythagoras kann ich nicht auflösen. Eine eindeutige Lösung bekomme ich einfach nicht hin. verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Den Hang von Übungsaufgaben nach ganzzahligen Lösungen berücksichtigend würde ich vermuten, dass statt

Zitat:
Original von LostArrow
Alle Seitenlängen:
e = 3,61 (gegenüber c), f = 8,66 (gegenüber b), g = 6,16 (gegenüber a),

eigentlich eher



gemeint ist. Big Laugh

Zumindest bei ist das ja anhand der gegebenen Koordinaten schon belegt.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LostArrow
Eine eindeutige Lösung bekomme ich einfach nicht hin.


Es gibt ja auch mehr als eine Lösung. Du hast zwei quadratische Gleichungen, von denen Du die eine z.B. nach bx auflösen kannst. Diese zwei Lösungen setzt Du in die zweite Gleichung ein und löst die dann nach bz auf.

Viele Grüße
Steffen
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Geschickter ist, durch Subtraktion der beiden Gleichungen die Quadrate zu eliminieren, um zunächst einmal einen linearen Zusammenhang der beiden gesuchten Größen zu erhalten.
LostArrow Auf diesen Beitrag antworten »

Rein aus der Vorstellungskraft wüde ich sagen es gibt nur zwei (eindeutige) Lösungen für bx und bz.

Das sind die zwei Gleichungen von denen wir reden, oder?:
g² = (cx - bx)² + (cy - by)² + (cz - bz
e² = (ax - bx)² + (ay - by)² + (az - bz

Und die sollten durch geschicktes Umstellen/Einsetzen lösbar sein...
... dann bin ich wohl ungeschickt!
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Nur Mut. Nimm den zweiten Binom und löse die Klammern auf. Ob Du dann Leopolds oder meinem Vorschlag nachgehst, ist Dir überlassen.

Was die Vorstellung betrifft: nimm mal zwei Bleistifte, stelle sie nebeneinander auf den Tisch und führe die Spitzen zusammen. Nun hast Du ein Dreieck mit drei festen Seiten (Bleistiftlängen und Abstand auf dem Tisch) sowie zwei festen Punkten (Fußpunkte der Stifte). Der dritte Punkt (Berührpunkt der Spitzen) kann nun an verschiedenen Orten im Raum sein...
LostArrow Auf diesen Beitrag antworten »

I: g² = (cx - bx)² + (cy - by)² + (cz - bz
II: e² = (ax - bx)² + (ay - by)² + (az - bz

I': (cx - bx)² = g² - (cy - by)² - (cz - bz
bx = cx - (g² - (cy - by)² - (cz - bz)²)^0,5

I' in II: e² = (ax - cx + (g² - (cy - by)² - (cz - bz)²)^0,5)² + (ay - by)² + (az - bz

Und da soll ich das bz rausziehen?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt, würde ich erst mal beides mit (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 umformen, dann tust Du Dich leichter.

Und dann entweder eben beide Gleichungen voneinander abziehen, oder zweimal die pq-Formel.
LostArrow Auf diesen Beitrag antworten »

I:
g² = (cx - bx)² + (cy - by)² + (cz - bz)²
g² = cx² - 2cxbx + bx² + cy² - 2cyby + by² + cz² - 2czbz + bz²

II:
e² = (ax - bx)² + (ay - by)² + (az - bz)²
e² = ax² - 2axbx + bx² + ay² - 2ayby + by² + az² - 2azbz + bz²

I - II:
g² - e² = cx² - 2cxbx + bx² + cy² - 2cyby + by² + cz² - 2czbz + bz² - ax² + 2axbx - bx² - ay² + 2ayby - by² - az² + 2azbz - bz²
g² - e² = cx² + cy² - 2cyby + cz² - 2czbz - ax² - ay² + 2ayby - az² + 2azbz
bz = (g² - e² - cx² - cy² - cz² + 2czbz + ax² + ay² - 2ayby + az²)*(-2cz + 2az)^-1
bz = 9

bz in I':
I': (cx - bx)² = g² - (cy - by)² - (cz - bz)²
bx = cx - (g² - (cy - by)² - (cz - bz)²)^0,5
bx = 2,54

bz und bx in I (Kontrolle):
g² = (cx - bx)² + (cy - by)² + (cz - bz)²
6,16² = 6,19² => O.K.
LostArrow Auf diesen Beitrag antworten »

Ihr seid echt motivierend. Alleine hätte ich schon lange aufgegeben!

Mir ist gerade noch etwas aufgefallen:
a = (1;2;3), b = (bx;2;bz)

Die Punkte a und b liegen auf einer Ebene mit dem Normalenvektor (0;1;0).
Punkt b liegt auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt a und dem Radius e = 3,61.
Das bedeutet doch es gibt genau zwei Punkte.

Wie bekomme ich den zweiten Punkt?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LostArrow
g² - e² = cx² - 2cxbx + bx² + cy² - 2cyby + by² + cz² - 2czbz + bz² - ax² + 2axbx - bx² - ay² + 2ayby - by² - az² + 2azbz - bz²
g² - e² = cx² + cy² - 2cyby + cz² - 2czbz - ax² - ay² + 2ayby - az² + 2azbz


Da ist was verlorengegangen. Wenn Du Dir's leichter machen willst, setz doch hier schon Zahlen ein, dann sieht's übersichtlicher aus.

Viele Grüße
Steffen
LostArrow Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast Recht.
Zu früh gefreut... also nochmal:

I:
g² = (cx - bx)² + (cy - by)² + (cz - bz)²
g² = cx² - 2cxbx + bx² + cy² - 2cyby + by² + cz² - 2czbz + bz²

II:
e² = (ax - bx)² + (ay - by)² + (az - bz)²
e² = ax² - 2axbx + bx² + ay² - 2ayby + by² + az² - 2azbz + bz²

I - II:
g² - e² = cx² - 2cxbx + bx² + cy² - 2cyby + by² + cz² - 2czbz + bz² - ax² + 2axbx - bx² - ay² + 2ayby - by² - az² + 2azbz - bz²
g² - e² = cx² - 2cxbx + cy² - 2cyby + cz² - 2czbz - ax² + 2axbx - ay² + 2ayby - az² + 2azbz
g² - e² = bx*(-2cx + 2ax) + by*(-2cx + 2ay) + bz(-2cz + 2ay) + cx² + cy² + cz² - ax² - ay² - az²

Hier häng ich dann schon wieder. Zwei unbekannte... was lief schief?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LostArrow
g² - e² = cx² - 2cxbx + cy² - 2cyby + cz² - 2czbz - ax² + 2axbx - ay² + 2ayby - az² + 2azbz
g² - e² = bx*(-2cx + 2ax) + by*(-2cx + 2ay) + bz(-2cz + 2ay) + cx² + cy² + cz² - ax² - ay² - az²


Es ist in der Tat viel Konzentration nötig... Augenzwinkern

Zitat:
Original von LostArrow
Hier häng ich dann schon wieder. Zwei unbekannte... was lief schief?


Nichts, von den Rechenfehlern abgesehen. Es gibt unendlich viele Lösungen, die durch den Zusammenhang von bx und bz beschrieben werden.

Viele Grüße
Steffen
LostArrow Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, auch ohne meine Rechenfehler scheint Pythagoras eine Sackgasse zu sein.

Da ich Maschinenbau studiere sind die Aufgaben aber auf räumliches Verständniss ausgelegt und kein Konzentrationstests.

Nehmen wir an für b wäre keine Koordinate gegeben.
Dann hätten wir zwei Kugeln:
M1 = a = (1;2;3), r1 = e = 3,61
M2 = c = (6;7;8), r2 = g = 6,16

Nur dann gäbe es unendlich viele Lösungen, nämlich einen Schnittkreis auf einer Schnittebene.

Da wir aber die Y-Koordinate von b = (bx;2;bz) gegeben haben, könnte man es als Kugel und Kreis sehen.
Kugel:
M1 = a = (1;2;3), r1 = e =3,61

Kreis auf Ebene:
M2 = c = (6;7;8), r2 = g = 6,16
und Normalenvektor (0;1;0) aus a = (1;2;3), b = (bx;2;bz)

Also hätte wir einen definierten Kreis der eine definierte Kugel schneidet und somit genau 2 Schnittpunkte.

Bin ich auf dem richtigen Holzweg???
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Nun gut, wir sind immerhin in Geometrie, dann kommen wir hier vielleicht schneller voran. Ich habe mal eine qualitative Zeichnung zweier Kugeln, die sich schneiden, gemacht. Wenn ich mir das so betrachte, sollte doch zumindest über bx, also die Horizontalposition der Schnittpunkte, eine Aussage möglich sein, wenn man die Mittelpunkte und Radien der beiden Kugeln kennt...

PS: Da Du nun auch dabei bist - herzlich willkommen im Board!
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

wie immer vermutlich ziemlich daneben,
aber mit dem Werten Von HAL und je nachdem wo e und/oder g in Bezug auf f liegen, könnte rauskommen



und analog
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zur geometrischen Interpretation:

Letzendlich wird der von Steffen gezeichnete gelbe Schnittkreis zweier Kugeln nicht mit einer Kugel geschnitten, sondern mit der Ebene - so ist die festgelegte y-Koordinate von B zu lesen!


@riwe

Das mit dem oben von mir erwähnten "Hang von Übungsaufgaben nach ganzzahligen Lösungen" hatte ich durchaus wörtlich gemeint, nämlich bezogen direkt auf die Lösungskoordinaten von . Augenzwinkern
LostArrow Auf diesen Beitrag antworten »

@Steffen Bühler:
Danke!
Deine Zeichnung hilft, so hatte ich mir das auch vorgestellt wenn keine Werte zu b = (bx;2;bz) gegeben wären.
Aber stimmt der Gedanke der zwei Schnittpunkte durch Kugel und Kreis auch?


@riwe:
Die Berechnung versteh ich noch nicht. Kommt die aus dem Pythagoras und der Mitternachts-/PQ-Formel?
Benutz bitte meine Werte (auch wenn sie vllt. nicht ganz richtig angegeben sind).
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Art, wie LostArrow die Bezeichnungen ganz gegen die Konventionen der Elementargeometrie eingeführt hat, ist aber auch recht verwirrend. Ich weiß ja nicht, ob das auf seinem Mist gewachsen ist oder in der Aufgabe bereits so angelegt war. Vielleicht stehen ja andere Konventionen in Konkurrenz.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LostArrow
Aber stimmt der Gedanke der zwei Schnittpunkte durch Kugel und Kreis auch?


Nein, das ist, wie HAL schon angemerkt hat, eine Ebene auf "Höhe" 2 (wenn die y-Achse die senkrechte Achse ist). Die schneidet den gelben Kreis in den Punkten, die gesucht werden.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LostArrow
Benutz bitte meine Werte (auch wenn sie vllt. nicht ganz richtig angegeben sind). Hal 9000 hat nur die Strecken(beträge) genommen, quadriert, gerundet und unter eine Wurzel geschrieben - Um Verwirrung zu stiften, wie es sich für einen diabolischen Supercomputer gehört


Ich glaube, als guter Wahrscheinlichkeitstheoretiker hat HAL die Frage

"Wie wahrscheinlich ist 6,16 gleich Wurzel 38?"

einfach mit "-fast-sicher" beantwortet.
LostArrow Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, da Stimm ich dir zu!
Benutzt die Richtigen und hier im Forum üblichen Bezeichnungen.

Ich bin schon länger aus der Schule raus und habe Vektorrechnung nur noch für Robotik in Microcontrollern eingesetzt. Da schreibt das englischsprachige "Internet" das so in die Arrays.

Sorry fahrt fort!
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
"Wie wahrscheinlich ist 6,16 gleich Wurzel 38?"


smile

Eben. Und wenn ein Ingenieur wiederum nachts aufgeweckt wird und "8,66" gesagt bekommt, antwortet er reflexartig "das ist doch 10mal Wurzel drei Halbe".
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LostArrow
Hal 9000 hat nur die Strecken(beträge) genommen, quadriert, gerundet und unter eine Wurzel geschrieben - Um Verwirrung zu stiften, wie es sich für einen diabolischen Supercomputer gehört

Vielleicht leistest du ja Abbitte, wenn du dann die wirklichen Lösungskoordinaten siehst. Augenzwinkern
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LostArrow
Benutzt die Richtigen und hier im Forum üblichen Bezeichnungen.


Es geht eigentlich hauptsächlich darum, dass Mathematiker gewohnt sind, die drei Ecken eines Dreiecks mit großem A, B, C zu bezeichnen und die jeweils gegenüberliegenden Seiten mit kleinem a, b, c, wie es z.B. hier dargestellt ist. Dein e, f, g war in der Tat zunächst verwirrend.

Zitat:
Original von LostArrow
Sorry fahrt fort!


Eigentlich bist Du am Zug. Kannst Du schon die x-Koordinaten benennen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Und jetzt bin ich ganz verblüfft: Rechne ich mit LostArrows dezimalen Werten, werden meine Gleichungen reell unlösbar. Was ist denn da numerisch passiert? Habe ich mich verrechnet? Oder geht euch das auch so?
Geht die Ebene so knapp daneben?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Geht die Ebene so knapp daneben?


Anscheinend. Mein CAS kann's auch nur lösen, wenn ich statt 3,61² und 6,16² eben die Werte 13 bzw. 38 eingebe.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Da widerspreche ich: Auch mit 3.61 und 6.16 ist das ganze reell lösbar.
LostArrow Auf diesen Beitrag antworten »

Berechnung der Schnittebene:
k1: M1 = A (1;2;3), r1 = e = 3,61
k2: M2 = C (6;7;8), r2 = g = 6,16

Kreisgleichungen:
k1:
(x - 1)² + (y - 2)² + (z - 3)² = 3,61² = 13
x² - 2x + 1 + y² - 4y + 4 + z² -6z + 9 = 13
x² + y² + z² - 2x - 4y - 6z = -1

k2:
(x - 6)² + (y - 7)² + (z - 8)² = 6,16² = 38
x² - 12x + 36 + y² - 14y + 49 + z² - 16z + 64 = 38
x² + y² + z² - 12x - 14y - 16z = -111

k1 - k2:
10x + 10y + 10z = 100

Schnittebene:
x + y + z = 10

Gerade durch M1 und M2:
gM1M2: x-> = (1;2;3) + t*(1;1;1)

gM1M2 in Schnittebene:
(1 + t) + (2 + t) + (3 + t) = 10
3t = 4
t = 4/3

Mittelpunkt des Schnittkreises (t in gM1M2):
M': x-> = (1;2;3) + 4/3*(1;1;1)
M' (7/3;10/3;13/3)

Radius des Schnittkreises:
d = M1M2 = f = 8,66
d1 = (r1² - r2² + d²) / 2d
d1 = (13 - 38 + 75) / (2 * 8,66) = 2,89

r' = (r1² - d1²)^0,5
r' = (13 - 2,89²)^0,5 = 2,16

Schnittkreis gesamt:
M' (7/3;10/3;13/3)
Ebene: x + y + z = 10
r' = 2,16

Stimmt das soweit?
Work in progress!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Da widerspreche ich: Auch mit 3.61 und 6.16 ist das ganze reell lösbar.


Bei mir wird es nicht besser, wenn ich auf mehr Stellen runde.

Mein Verfahren: Gleichungen subtrahieren, so daß quadratische Glieder entfallen, danach eine Variable eliminieren und quadratische Gleichung lösen. Da geht es dann schief.
Und das Ganze natürlich mit einem CAS, nicht von Hand.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann macht wohl irgendwer von uns einen Einsetz-Fehler. Ich rede jedenfalls vom System

,

egal ob nun mit oder mit .


EDIT: Verwechslung bei den Koordinaten, Korrektur s.u.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor ich jetzt meine gesamte Lösung durchgehe ... sind wir uns einig, daß sich bei der Rechnung mit den Wurzelwerten die Punkte ergeben?
LostArrow Auf diesen Beitrag antworten »

Stimm ich dir zu, B (4,2,5) habe ich mal iterativ rausbekommen).
Den zweiten Schnittpunkt kenn ich (noch) nicht.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ups, jetzt hab ich mich doch tatsächlich verschrieben: Ich meinte natürlich das System

,

sorry, dass ich nun auch noch meinen Teil der Verwirrung beigetragen habe. Hammer
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ HAL 9000

Wieso eigentlich ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die y-Koordinate von B ist 2, die von C aber 7.
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