Differenzierbarkeit einer Funktion

24.07.2014, 17:16

Nick32

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Differenzierbarkeit einer Funktion

Meine Frage:
Hallo,
eine kurze Frage zu der Differenzierbarkeit einer Funktion.

Die Aufgabenstellung und die Musterlösung des Instituts ist angehängt.

Kann ich mir das nicht auch aus den Ableitungsregeln herleiten? (Für drei Funktionen ist die Ableitung ja schnell gebildet.)
Überprüfe ich jetzt jedoch zB die Ableitung der Funktion für n=2, so ist diese ja laut Lösung definiert.
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2*sin(1/x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x) \end{eqnarray*}$

Nun zu meiner Frage: Laut Lösung ist für n=2: $\begin{eqnarray*} f'(0)=0 \end{eqnarray*}$
Dies stimmt jedoch nicht mit der obigen Aussage überein, oder? Der vordere Term fällt zwar offensichtlich weg, bleibt jedoch der Cosinusterm stehen. Dieser geht für x gegen 0 aber keineswegs gegen 0.

Wo ist mein Denkfehler?

Danke, LG Nick

24.07.2014, 17:28

bijektion

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Darum geht es doch. Du musst erstmal überprüfen, ob $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im Nullpunkt diff'bar ist, und dann heißt es noch nicht, dass die Ableitung stetig ist, geschweige denn, dass man sie derart geschlossen schreiben kann.

24.07.2014, 17:36

Nick32

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Danke für die schnelle Antwort. So richtig geholfen ist mir mit der Antwort aber nicht.

Habe ich das richtig verstanden:
-Die Ableitung der Funktion (ist laut MuLö) an der Stelle x=0, Null. Zeigen kann man dies nur (?) mit dem Differenzenquotienten.
-Daraus folgt: Meine gebildete Ableitung ist falsch, da sie nicht derart geschlossen geschrieben werden kann (Warum? Welches "Ableitungsgesetz" habe ich verletzt?)

(Nur nebenbei: Ich studiere Maschinenbau, kein Mahte. smile

smile

)

24.07.2014, 18:01

bijektion

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Zitat:

Die Ableitung der Funktion (ist laut MuLö) an der Stelle x=0, Null. Zeigen kann man dies nur (?) mit dem Differenzenquotienten.

Ja, richtig.

Zitat:

Daraus folgt: Meine gebildete Ableitung ist falsch, da sie nicht derart geschlossen geschrieben werden kann (Warum? Welches "Ableitungsgesetz" habe ich verletzt?)

Nein, nicht falsch. Für $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist durchaus $\begin{eqnarray*} f'_2(x)=2\cdot x \cdot \sin\frac{1}{x} -\cos \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ die korrekte Ableitung, aber $\begin{eqnarray*} 2\cdot 0 \cdot \sin\frac{1}{0} -\cos \frac{1}{0} \end{eqnarray*}$ ist ein unbestimmter Ausdruck.

In deiner Musterlösung ist bereits $\begin{eqnarray*} f'_2(0)=0 \end{eqnarray*}$ berechnet worden, also wissen wir, dass $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ im Nullpunkt differenzierbar ist.
Allerdings muss die Ableitung nicht stetig sein; und hier liegt dein Problem: der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} f'_2(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\to 0 \end{eqnarray*}$ existiert ja gar nicht.
D.h. wir müssen für die Ableitung $\begin{eqnarray*} f'_2(x)=\begin{cases} 2\cdot x \cdot \sin\frac{1}{x} -\cos \frac{1}{x} & x\neq 0 \\ 0 & x=0\end{cases} \end{eqnarray*}$ schreiben Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.07.2014, 18:33

Nick32

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Okay, vielen Dank. Jetzt macht es Sinn.

Um mit der Aufgabe abschließen zu können, noch eine Frage zum Verständnis:

Differenzierbar sind Funktionen, die insbesondere stetig sind und deren Linksseitiger und Rechtsseitiger Grenzwert an jeder Stelle (x0) identisch sind. Richtig?

Wenn ich mir das jetzt bei der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x*sin(1/x) \end{eqnarray*}$ vorstelle, hakt es noch ein wenig. Offensichtlich osziliiert die Funktion um den Nullpunkt.
Warum ist die Funtkion dort aber nicht differenzierbar?
Stetig ist sie ja im Nullpunkt, oder? Da der Grenzwert für $\begin{eqnarray*} f(x)=x*sin(1/x) \end{eqnarray*}$ für x gegen Null, sowohl von rechts, als auch links gegen Null geht.
Der Widerspruch muss also beim Differenzenquotient zu finden sein? Nur hier streikt jetzt meine Vorstellung. Ich hab gezeigt, dass die Funktion oszilliert, also dort gar keinen eindeutigen Grenzwert besitzt. (Aber dennoch ist doch der rechtsseitige gleich dem linksseitigen? Muss ich also in meiner Definition oben hinzufügen: Differenzierbar sind Funktionen, die insbesondere stetig sind und deren Linksseitiger und Rechtsseitiger Grenzwert an jeder Stelle (x0) identisch sind. UND einen EINDEUTIGEN Grenzwert an dieser Stelle besitzen? )

Diese Einschränkung wäre für mich plausibel, aber muss nicht jede Funktion für einen bestimmten x-Wert definiert sein und damit auch eine bestimmte Steigung haben? Wie kann also überhaupt der Grenzwert des Differenzenquotienten nicht eindeutig sein?

Ich hoffe die Fragen sind nicht allzu blöd und halbwegs verständlich.

Vielen Dank nochmal ! smile

smile

24.07.2014, 18:53

Leopold

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Zitat:

Original von Nick32
Differenzierbar sind Funktionen, die insbesondere stetig sind und deren Linksseitiger und Rechtsseitiger Grenzwert an jeder Stelle (x0) identisch sind. Richtig?

Nein.

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24.07.2014, 19:12

Nick32

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Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von Nick32
Differenzierbar sind Funktionen, die insbesondere stetig sind und deren Linksseitiger und Rechtsseitiger Grenzwert an jeder Stelle (x0) identisch sind. Richtig?

Nein.

Ich kann ja verstehen, dass Sie sich hier nicht mit stumpfen raussuchen von Definitionen abgeben wollen, AAABER man sollte an meinem Post doch wirklich sehen, dass ich mich mit der Thematik auseinander gesetzt habe.

Ich muss ehrlich sagen, eine solche Antwort finde ich fast schon frech.
Wir sind hier in einem Forum und ich frage nach Hilfe. Nett, dass Sie mir mein Unwissen ohne jeglichen Tipp oder Aussicht auf einen Ausweg, vorführen.

Ich habe später dieser Definition sogar noch etwas hinzugefügt. Googlen nach einer "richtigen" kann ich auch.
Bestünde das Forum nur aus solchen Einträgen, bliebe ich wohl für immer "dumm". traurig

traurig

Herzlichen Glückwunsch "Leopold"

EDIT:

Damit ich nicht dumm bleibe:

Was ist daran denn falsch? Hier ist zu lesen, dass dies der Fall ist:

http://www.brinkmann-du.de/mathe/gost/formel/f_0774.gif

Auf Wikipedia steht übrigens:
"Eine Funktion f ist genau dann differenzierbar an der Stelle x_0 ihres Definitionsbereichs, wenn der Grenzwert der Differenzenquotienten
existiert."

Dies habe ich später wie gesagt meiner Definition hinzugefügt. :

Zitat:

Differenzierbar sind Funktionen, die insbesondere stetig sind und deren Linksseitiger und Rechtsseitiger Grenzwert an jeder Stelle (x0) identisch sind. UND einen EINDEUTIGEN Grenzwert an dieser Stelle besitzen?

Bleibt also trotzdem die Frage:
Wo liegt mein Verständnisproblem?

Speziell an "Leopold": Was muss ich posten, damit Sie so gnädig sind mir vernünftig zu antworten?

24.07.2014, 19:22

Leopold

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Zitat:

Original von Nick32
Auf Wikipedia steht übrigens:
"Eine Funktion f ist genau dann differenzierbar an der Stelle x_0 ihres Definitionsbereichs, wenn der Grenzwert der Differenzenquotienten
existiert."

Eben. Das ist doch etwas ganz anderes.

24.07.2014, 19:25

Nick32

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Schön, dass wir uns jetzt darauf geeinigt haben (auch wenn ich später sogar selber darauf gekommen bin).

Ich habe verstanden, dass demnach laut Definition (und somit mathematisch korrekt) die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x*sin(1/x) \end{eqnarray*}$ an der Stelle x=0 nicht differenzierbar ist.

Meine ursprüngliche Frage (warum dies so ist) ist trotzdem noch unbeantwortet.

24.07.2014, 19:28

Guppi12

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Hallo Nick32,

ich verstehe die Frage nicht. Du sagst selbst, dass diese Funktion laut Definition in $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ nicht differenzierbar ist. Genau das ist der Grund, warum dies so ist.

Um dir zu helfen, müsstest du einmal erklären, warum die Funktion denn abgesehen von der Definition in $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar sein sollte. Dann kann man diese Vorstellung vielleicht besser widerlegen.

24.07.2014, 19:29

Leopold

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Das ist so, weil eben gerade dieses nicht erfüllt ist.

Zitat:

Original von Nick32
Auf Wikipedia steht übrigens:
"Eine Funktion f ist genau dann differenzierbar an der Stelle x_0 ihres Definitionsbereichs, wenn der Grenzwert der Differenzenquotienten
existiert."

Der Grenzwert des Differenzenquotienten für die Stelle $\begin{align*} x_0=0 \end{align*}$ existiert nicht.

24.07.2014, 19:36

Leopold

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Mir fällt gerade auf, daß du weiter oben nur $\begin{align*} f(x) = x \cdot \sin \frac{1}{x} \end{align*}$ schreibst. Weder hast du den Definitionsbereich für die Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ angegeben noch eine eventuelle Ergänzung an der Stelle $\begin{align*} x_0=0 \end{align*}$ . Denn eines ist klar: Der obige Term ist an der Stelle $\begin{align*} 0 \end{align*}$ nicht definiert.

Ergänze bitte deine Angaben.

24.07.2014, 19:39

Nick32

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Zitat:

Original von Guppi12

Um dir zu helfen, müsstest du einmal erklären, warum die Funktion denn abgesehen von der Definition in $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar sein sollte. Dann kann man diese Vorstellung vielleicht besser widerlegen.

Gerne, also: In meiner Vorstellung ist zB die Betragsfunktion nicht diff'bar, da sie einen "Knick" hat, obwohl sie stetig ist. Die Steigung ist von rechts kommend, anders als von links.

Bei der angegeben Funktion kann ich mir aber einfach keinen anschaulichen Grund vorstellen, warum Sie nicht diff'bar ist.

Der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle liefert mir ja eine oszillierende Funktion. $\begin{eqnarray*} sin(1/x) \end{eqnarray*}$ mit x gegen 0. (Weswegen sie mathematisch "offensichtlich" nicht diffbar ist.)

Ich probiere mir eine "oszillierende Ableitungsfunktion" vorzustellen und dort hakt es eben. Ich mein nur weil die Funktion oszilliert hat sie doch trotzdem dort eine eindeutige Steigung? Also es ist kein Knick (wie bei der Betragsfunktion zu sehen)? Ich habe mir die Funktion auch bei WolframAlpha mal zeichnen lassen, ich sehe einfach keinen Grund, weswegen sie nicht differenzierbar ist.
Ich darf irgendwie keinen URL einfügen, aber ihr wisst sicherlich wie sie aussieht.

EDIT:

Ich glaube jetzt habe ich es. Wir setzen die Funktion ja an der Stelle x=0, laut Aufgabenstellung = 0. Dies entspricht nicht der Steigung, die wir durch den Differenzenquotienten heraus bekommen haben. Also ist sie deswegen nicht differenzierbar?

24.07.2014, 19:54

Guppi12

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Ok, ich hoffe meine Erklärung ist einigermaßen verständlich:

Die betrachtete Funktion hat in $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ nicht unbedingt einen Knick verhält sich aber in der Nähe von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ trotzdem so sonderbar, dass man keine eindeutige Tangente anlegen kann.

In jeder noch so kleinen Umgebung um die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ schwankt die Funktion so stark, dass sie unendlich oft sowohl die Gerade y = x, als auch die Gerade y=-x berührt. Genau das sollte aber ja nicht passieren, wenn wir eine Tangente anlegen können. In diesem Fall sollte es ja so sein, dass die Funktion fast genauso aussieht wie die angelegte Tangente, zumindest wenn wir uns sehr nah am Berührpunkt befinden. Hier haben wir aber den Fall, dass zwei völlig verschiedene Geraden immer wieder eine gute Näherung für einzelne Punkte der Funktion sehr nahe bei $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ liefern.

Hilft dir das weiter?

Edit: Zu deinem Edit: Daraus werde ich nicht schlau. Durch den Differenzenquotienten haben wir ja gerade eben keine Steigung herausgekommen. Das wiederum ist ja genau die Definition, die ich jetzt in meiner Erklärung mal außen vor gelassen habe.

24.07.2014, 20:03

Nick32

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Ja, super, jetzt habe ich es verstanden! Vielen vielen Dank!

In meinem EDIT habe ich zwei Dinge vermischt, die so wirklich keinen Sinn machen! Also jetzt habe ich es verstanden, Knoten ist weg!

Was bleibt: Was für eine komische Funktion! Big Laugh

Big Laugh

25.07.2014, 10:21

Nick32

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Morgen

smile

Letzte Frage, die mir beim nächtlichen Nachdenken gekommen ist:

Wann existiert definitionsgemäß ein Grenzwert? Heißt das, dass der Differentenquotient konvergieren muss, unendlich so zB ausgeschlossen ist?

EDIT: Frage selbst beantwortet:

Zitat:

In der Mathematik bezeichnet der Limes oder Grenzwert einer Funktion an einer bestimmten Stelle denjenigen Wert, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert. Ein solcher Grenzwert existiert jedoch nicht in allen Fällen. Existiert der Grenzwert, so konvergiert die Funktion, andernfalls divergiert sie. Der Grenzwertbegriff wurde im 19. Jahrhundert formalisiert. Es ist eines der wichtigsten Konzepte der Analysis.

Super, dann hatte ich es richtig verstanden.
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Vielen Dank smile

smile

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