Nabla für Zylinderkoordinaten - Herleitung Verständnislücke

24.07.2014, 18:06

Manko

Nabla für Zylinderkoordinaten - Herleitung Verständnislücke

Wenn ich ein Skalarfeld habe T = T(x,y,z) und ich dieses in Zylinderkoordinaten umschreibe, so habe ich

$\begin{eqnarray*} T=T(x(r, \phi), y(r,\phi), z) \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt nabla T berechne, so erhalte ich ungefähr folgendes:

$\begin{eqnarray*} \nabla T=\nabla T(x(r, \varphi), y(r,\varphi), z)=\frac{\partial T}{\partial x}\frac{\partial x}{?}\vec{e}_x+\frac{\partial T}{\partial y}\frac{\partial y}{?}\vec{e}_y+\frac{\partial T}{\partial z}\vec{e}_z \end{eqnarray*}$

Was muss ich aber in den Fragezeichen schreiben? x und y hängen ja von r und phi ab. Aber wie soll ich dann die Kettenregel hier verwenden?

Stimmt das überhaupt was ich da mache?

24.07.2014, 19:22

HeinzImUnglück

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Hallo, die Formel für den Gradient in Zylinder Koordinaten lautet :

$\begin{eqnarray*} \nabla T =\frac{\partial T}{\partial r} \hat{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial T}{\partial \theta} \hat{\theta} + \frac{1}{r sin \theta} \frac{\partial T}{\partial \phi} \hat{\phi} \end{eqnarray*}$

Gruß

24.07.2014, 19:24

Manko

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Und wie leite ich sie mit der Kettenregel her?

24.07.2014, 19:28

HeinzImUnglück

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Wenn du so eine Funktion hast $\begin{eqnarray*} T(x(\phi, \theta) \end{eqnarray*}$ müsstest du die partielle Ableitung so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial T}{\partial x} \frac{dx}{d \phi} + \frac{\partial T}{\partial x} \frac{dx}{d\theta} \end{eqnarray*}$

24.07.2014, 19:37

HeinzImUnglück

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Ich habs selbst noch nicht hergeleitet, aber vielleicht hilft dir das
hXtXtXp:X//hydra.nat.uni-magdeburg.de/misc/va2.pdf

(überall die X entfernen)

24.07.2014, 20:28

Bernhard1

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Zitat:

Original von Manko
Und wie leite ich sie mit der Kettenregel her?

Verwende die Form $\begin{eqnarray*} T(r(x,y), \Phi (x,y), z) \end{eqnarray*}$ und lass darauf den bekannten Nabla-Operator los. Die Kettenregel liefert dann die Zerlegung in den gewünschten Koordinaten Wink

24.07.2014, 21:40

Manko

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Was bringt sich das eigentlich alles? Ich verstehe nicht wozu die Kugelkoordinaten gut sein sollen. Ich mein wie rechnet man damit überhaupt? Kann ich da einfach wie Vektoren ein Skalarprodukt bilden? Denn wenn ich das mache, dann kommt bei v1 in v2 kartesisch ein anderes Ergebnis raus als wie bei Kugel oder Zylinder.

Und was ist mit dem Kreuzprodukt? Dieses funktioniert in Zylinder oder Kugelkoordinaten offenbar genau so wenig. #Diese Kugelkoordinaten hauen ja alles auf den Kopf. Wie rechnet man damit???

24.07.2014, 23:42

Bernhard1

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Zitat:

Original von Manko
Was bringt sich das eigentlich alles? Ich verstehe nicht wozu die Kugelkoordinaten gut sein sollen.

Typischerweise verwenden Physiker angepasste Koordinatensysteme. Denke z.B. an ein physikalisches Feld, das nur vom Abstand zum Ursprung des Koordinatensystems abhängen soll, wie z.B. so bekannte Felder wie das Coulomb- oder das Gravitationspotential. Man hat dann ein $\begin{eqnarray*} \Phi(r) \end{eqnarray*}$ und will dann beispielsweise den Gradienten davon berechnen. Es gibt dann zwei Möglichkeiten:

1) Man setzt für $\begin{eqnarray*} r = \sqrt{x^2+y^2+z^2} \end{eqnarray*}$ ein und rechnet stur den Gradienten aus, oder
2) Man schaut die Formel für den Gradienten in Kugelkoordinaten in einem schlauen Buch kurz nach und braucht dann nur noch nach r partiell ableiten, weil das Feld von den anderen Koordinaten nicht abhängt.

Das Rechnen mit diesen Werkzeugen ist aber zweifelsfrei ein weites Feld und deshalb vergleichsweise schwer zu erlernen. Ein paar Forenbeiträge können das lediglich grob skizzieren.

25.07.2014, 00:18

HeinzImUnglück

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Kugelkoordinaten sind wichtig wenn man z.B. das elektrische Feld einer geladenen Kugel ausrechnen will oder bei Zylinderkoordinaten das elektrische Feld eines Zylinders. Und wenn man eine kompliziertere Geometrie hat, kann man diese aus diesen einzelnen zusammen setzen usw.. In Kugelkoordinaten und Zylinderkoordinaten kann man das elektrische Feld auch besonders einfach berechnen wenn die Feldlinien kolinear mit dem orientierten Normalenfeld der "Geometrie" sind (Gauss Gesetz).

Bei krummlinigen Koordinatensystemen ändern sich auch die Einheitsvektoren an jeder Stelle, deswegen sehen die Formeln in der Vektoranalysis so kompliziert aus, deswegen reicht auch nicht das normale Vektorprodukt aus, sondern du brauchst eine generalisierte Variante die eine Metrik beinhaltet. Das Skalarprodukt wird dann zu $\begin{eqnarray*} \langle \sum\limits_{i} e_{i}v^{i}, \sum\limits_{j} e_{j}w^{j}\rangle = \sum\limits_{i}v^{i} \langle e_{i}, \sum\limits_{j}e_{j}w^{j}\rangle = \sum\limits_{i} \sum\limits_{j} v^{i} \langle e_{i},e_{j}\rangle w^{j} \end{eqnarray*}$ dann definiert man $\begin{eqnarray*} g_{ij}:=\langle e_{i},e_{j}\rangle \end{eqnarray*}$ als die Metrik und bekommt $\begin{eqnarray*} \langle v,w \rangle = \sum\limits_{ij} v^{i}g_{ij}w^{j} \end{eqnarray*}$ . Im normalen kartesischen Koordinatensystem mit orthonormalen Basen besteht diese Metrik nur aus einsen, und wird sozusagen zur Einheitsmatrix, auch dargestellt mit $\begin{eqnarray*} g_{ij}= \delta^{i}_{j} \end{eqnarray*}$ und dann wird das Skalarprodukt das übliche $\begin{eqnarray*} \langle v,w\rangle = \sum\limits_{ij} v^{i}w^{j} \end{eqnarray*}$ . Normalerweise erwähnt man das nicht weil man im Grundkurs (oder wie immer man so ein Einführung nennt) nur orthonormale Koordinatensysteme betrachtet.

25.07.2014, 00:20

HeinzImUnglück

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Einmal das Wort Vektorprodukt durch Skalarprodukt ersetzen Augenzwinkern

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