Kriterien für Isomorphie

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thyrel Auf diesen Beitrag antworten »
Kriterien für Isomorphie
Meine Frage:
Hallo,
gefragt ist, ob die multiplikative Gruppe < \mathbb Z ^{\times}_{50} ; *> und die additive Gruppe < \mathbb Z _{25} ; +> isomorph sind.

Meine Ideen:
Nach dem Gauß-Kriterium kann ich schon mal sagen, dass die multiplikative Gruppe wegen 50=2*5^2 (m=2p^t) zyklisch ist. Leider ist mir nicht wirklich klar, inwiefern mir das weiterhilft. Kann es sein, dass zwei zyklische Gruppen nur isomorph sind, wenn sie die gleiche Ordnung haben (wäre ja hier nicht so)?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kriterien für Isomorphie
Zitat:
Kann es sein, dass zwei zyklische Gruppen nur isomorph sind, wenn sie die gleiche Ordnung haben (wäre ja hier nicht so)?

Naja, das betrifft natürlich nicht nur zyklische Gruppen. Ganz allgemein müssen zwei Gruppen, damit sie isomorph sein können, (im endlichen Fall) natürlich die gleiche Ordnung besitzen. Isomorphie bedeutet ja grade, dass ein Isomorphismus zwischen diesen beiden Gruppen existiert. Insbesondere ist so ein Isomorphismus ja eine bijektive Abbildung. Und sowas kann's ja gar nicht geben, wenn die Gruppen nichtmal die gleiche Ordnung haben.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ist dann , oder nicht ?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Auf der linken Seite fehlt natürlich der Stern/das Kreuz für die Einheitengruppe (sonst wäre das ja gar keine Gruppe). Aber ansonsten wäre das dann richtig.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Danke tmo, die Frage sollte eigentlich an thyrel gehen. smile
Dann frage ich noch mal nach: a) wie genau sieht der Isomorphismus aus ? b) lässt sich das verallgemeinern ? c) gib einen Isomorphismus für an, wenn möglich.
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