LGS lösen, 1 Gleichung 3 Unbekannte

25.07.2014, 10:52

Justus_91

LGS lösen, 1 Gleichung 3 Unbekannte

Meine Frage:
Hallo,

Ich bin in Mathe, auf gut deutsch gesagt, eine Flasche. Nur um das gleichmal vorneweg zu nehmen. Andere Fächer, etwa Computergrafik (besteht im Grunde auch größtenteils aus Rechnen, bspw. Matrizenrechnung) machen mir eigentlich überhaupt keine Probleme, da sind die Rechenwege halt meistens ziemlich straight forward.

Wie auch immer, ich schreibe demnächst an der Fachhochschule eine Klausur über lineare Algebra, dabei macht mir dabei folgende Aufgabe zu schaffen:

Man bestimme die Lösung im R3

x1 - x2 + 2*x3 = 1

Meine Ideen:
Da es ja 3 Unbekannte gibt, aber lediglich nur 1 Gleichung kann ich doch im Prinzip 2 Variablen frei wählen, oder?

Wenn ich das tue, inwiefern reicht das dann als Lösung aus? Immerhin ist das ja nur eine einzige von vielen, vielen Lösungen.

Beim stöbern im Internet bin ich auch auf den Lösungsweg gestoßen, die einzelnen x_i zu parametrisieren.

Ich würde eine ausgiebige Hilfestellung wirklich begrüßen, ich kriegs einfach nicht in den Schädel wie ich hier vorgehen soll und bin fast am verzweifeln unglücklich

25.07.2014, 11:08

klarsoweit

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RE: LGS lösen, 1 Gleichung 3 Unbekannte

Zitat:

Original von Justus_91
Da es ja 3 Unbekannte gibt, aber lediglich nur 1 Gleichung kann ich doch im Prinzip 2 Variablen frei wählen, oder?

Im Prinzip ja, aber als Parameter.

Zitat:

Original von Justus_91
Beim stöbern im Internet bin ich auch auf den Lösungsweg gestoßen, die einzelnen x_i zu parametrisieren.

In diesem Fall sind x2 und x3 als Parameter zu wählen.

25.07.2014, 11:34

jussimon91

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Habe mich nunmal hier registriert.

Ich habe mich nun mal analog zu einem Beispiel im Netz verhalten, um x2, x3 zu parametrisieren:

$\begin{eqnarray*} x_1 - x_2 + 2*x_3 = 1 setze x_2=r, x_3=s x_1 - r + 2*s = 1 -x_1 = -1 - r + 2*s x_1 = 1 + r - 2*s Daraus folgt die Parametergleichung: \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} + r * \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit korrekt? Falls ja, wie mache ich nun weiter?
lg

25.07.2014, 11:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von jussimon91
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} + r * \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} + r * \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Und das ist dann die Lösung. smile

25.07.2014, 11:55

jussimon91

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Kommt die -2 für x1 im letzten Vektor einfach daher, dass ich das Vorzeichen VOR dem Vektor umdrehe und das - daher mit in den Vektor nehmen muss?

lg

25.07.2014, 12:03

klarsoweit

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Nun ja, das ergibt sich hieraus:

Zitat:

Original von jussimon91
x_1 = 1 + r - 2*s

Wie willst du zu einem -2s kommen, wenn du keine -2 in die 1. Komponente des letzten Vektors schreibst?

25.07.2014, 12:11

jussimon91

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Das meinte ich ja mit meiner Frage smile

Ich glaube ich hatte mich wohl etwas umständlich ausgedrückt.

Jedenfalls super! Allerbesten Dank für die Hilfe smile

War ja doch einfacher als gedacht.

Könntest du mir evtl. zur Kontrolle noch sagen, ob die Lösung eines andren Beispiels ebenfalls korrekt ist?

$\begin{eqnarray*} x_1 - 2x_2 + x_3 = 1 \end{eqnarray*}$

setze $\begin{eqnarray*} x_2 = r \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_3 = s \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 - 2r + s = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -x_1 = -2r + s - 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 = 2r - s + 1 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r * \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

25.07.2014, 12:45

klarsoweit

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Paßt auch. Freude

25.07.2014, 13:07

jussimon91

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Vielen vielen Dank smile

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