Lineare Abhängigkeit

25.07.2014, 14:27

balance

Lineare Abhängigkeit

Hallo,

Bin gerade etwas verwirrt. Mein Buch sagt:

"Ein Vektor $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{a}\neq \overrightarrow{0} \end{eqnarray*}$ ist linear unabhängig"

Das macht für mich Sinn. Wenn mehrere Vektoren nicht zu einer nicht trivialen Nullsumme addiert werden können, so sind sie nicht linear abhängig. Oder anderst gesagt, kann ich die Vektoren zu einer lückenlosen Kette verbinden, sind sie lienar abhängig. Ich kann jeden durch die andern ausdrücken.

Bei dem Video am Anfang sagt er aber, wenn die Summe mehrere Vektoren = 0 ist, sei sie linear unabhängig.
http://www.youtube.com/watch?v=LvHVzZnqO1U

Bin ich oder er falsch oder versteh ich ihn falsch?

25.07.2014, 14:54

klarsoweit

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RE: Lineare Abhängigkeit

Zitat:

Original von balance
"Ein Vektor $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{a}\neq \overrightarrow{0} \end{eqnarray*}$ ist linear unabhängig"

Das ist richtig.

Zitat:

Original von balance
Ich kann jeden durch die andern ausdrücken.

Das muß bei linear abhängigen Vektoren nicht zwingend so sein.

Zitat:

Original von balance
Bei dem Video am Anfang sagt er aber, wenn die Summe mehrere Vektoren = 0 ist, sei sie linear unabhängig.

Das hat er nicht gesagt, sondern wenn die Summe mehrerer Vektoren den Nullvektor ergibt und daraus zwingend folgt, daß alle Koeffizienten a_i = 0 sein müssen, dann sind die Vektoren linear unabhängig. smile

25.07.2014, 15:03

balance

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Zitat:

Das muß bei linear abhängigen Vektoren nicht zwingend so sein.

Welcher Fall wäre den das?

Danke, dann habe ich ihn falsch verstanden.

25.07.2014, 15:08

klarsoweit

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Nehme $\begin{eqnarray*} \vec a = (1,0), \vec b = (0, 2), \vec c = (0, 3) \end{eqnarray*}$ . Den Vektor a kannst du nicht aus den anderen darstellen, obwohl die 3 Vektoren linear abhängig sind. Augenzwinkern

25.07.2014, 15:43

balance

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hmm, hier sehe ich zwar das c und b linear abhängig sind, wieso a aber mit b und c linear abhängig sein soll, sehe ich nicht.

Hier z.B. eine Definition wie ich sie auch in meinem Buch finde:
http://www.mathebibel.de/lineare-abhaengigkeit-drei-vektoren

Angewendet auf dein Beispiel, sind die 3 Vektoren linear unabhängig.

Edit: Da steht mind. einer der Koeffizienten ungleich 0. Wieso nur einer?

Wieso definiert sich lienare Abhängigkeit so?

Mir ist klar, dass ein Nullvektor linear abhängig ist oder dass man dies so anschauen kann, mir ist auch klar, dass 0*a einen Nullvektor gibt und somit die obige Definition stimmt, aber Sinn machts nicht. Vorallem macht dann aj die Unabhängigkeit keinen Sinn mehr.

25.07.2014, 16:10

balance

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Also, Wiki sagt ja dazu:

Zitat:

In der linearen Algebra wird eine Familie von Vektoren eines Vektorraums linear unabhängig genannt, wenn sich der Nullvektor nur durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt, in der alle Koeffizienten der Kombination auf den Wert Null gesetzt werden. Äquivalent dazu ist, dass sich keiner der Vektoren als Linearkombination der anderen darstellen lässt.

Andernfalls heißen sie linear abhängig. In diesem Fall lässt sich mindestens einer der Vektoren (aber nicht notwendigerweise jeder) als Linearkombination der andern darstellen.

Der erste Teil, also die Definition von linearer Unabhängigkeit ist gut. Macht Sinn. Wieso aber alles andere sofort linear abhängig sein muss, erschliesst sich mir nicht.

Dein Beispiel ist doch nur linear abhängig, wegen dieser Definition. Wo aber bitte ist die Abhängigkeit von c und a? Das ist doch nur möglich, wen nder Koeffizient von a 0 ist, wobei dieser dann einfach sozusagen ausradiert wird.

Edit:
Ich würde sagen, deine sind unabhängig, weil du a 0 setzen musst, also mal 0 rechnen musst, damit er wegfliegt, damit du die BEdingungen für eine lineare abhängigkeit hast. Jetzt seh ich aber nicht, wieso man sagen kann, das a gehöre auch dazu. Man hats ausgelöscht, wieso also soll es linear abhängig sein?

Kurum: Alle 3 verglichen= unabhängig nur b und c=abhängig.

Aber anscheinend ist dem nicht so, wo liegt mein Fehler?

28.07.2014, 08:53

klarsoweit

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Zitat:

Original von balance
Dein Beispiel ist doch nur linear abhängig, wegen dieser Definition.

Eine Definition ist nun mal eine Definition, ob dir diese gefällt oder nicht. Und aufgrund dieser Definition sind meine Vektoren linear abhängig.

Zitat:

Original von balance
Wo aber bitte ist die Abhängigkeit von c und a?

Die muß nicht vorliegen. Man betrachtet immer eine Familie von Vektoren (in diesem Fall a, b und c) und prüft das komplette Paket auf lineare Unabhängigkeit. Da kann es immer Teilfamilien geben, die linear unabhängig sind. Das ist nicht verboten. Beispielsweise sind die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec a = (1,0), \vec b = (1, 1), \vec c = (0, 1) \end{eqnarray*}$ linear abhängig, obwohl jede Teilfamilie linear unabhängig ist.

Zitat:

Original von balance
Aber anscheinend ist dem nicht so, wo liegt mein Fehler?

Du willst einfach eine Definition nicht akzeptieren. smile

05.08.2014, 13:33

balance

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@klarsoweit
Erstmal danke, für das wegen den Familien.

Ich akzeptiere eig. alles, wer bin ich das ich was kritisieren will. :P Dafür habe ich noch zu wenig Ahnung. Ich versuche einfach, es genau zu verstehen. Es ist ja selten so, dass man eine Defition willkürlich macht ohne einen Sinn. Wie dem auch sei, es genügt mir jetzt mal fürs erste. smile

Aber danke, der letzte Post war gut.

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