Die Kugelkoordinaten spinnen einbisschen beim Gaußschen Satz

25.07.2014, 19:30

Manko

Die Kugelkoordinaten spinnen einbisschen beim Gaußschen Satz

Also irgendwas geht da nicht mit rechten Dingen zu. Und das Buch das ich gerade lese bestätigt mir das und führt irgendwelche Deltapulse ein um das Problem zu beheben. Ich versteh aber gar nicht was das denn soll?

Ok, ich versuche das Problem einmal zu schildern. Der Gaußsche Satz besagt im großen und ganzen:
$\begin{eqnarray*} \int_V (\nabla \cdot\vec{v})\;dV=\int_{\partial V} \vec{v} \cdot d\vec{A} \end{eqnarray*}$

Ok, soweit so gut. Jetzt habe ich ein Vektorfeld gewählt, das in Kugelkoordinaten so ausschaut:
$\begin{eqnarray*} \vec{v}=\frac{\vec{e}_r}{r^2} \end{eqnarray*}$

Die Aufgabe ist es jetzt den Gausschen Satz zu verifizieren und dafür habe ich die Divergenz berechnet:
$\begin{eqnarray*} \nabla \cdot \vec{v}=\frac{1}{r^2}\partial_r\left ( r^2\frac{1}{r^2} \right )=0 \end{eqnarray*}$
Somit ist einmal klar, dass die linke Seite des Gaußschen Satzes 0 ergibt.

Danach habe ich die rechte Seite errechnet zu:
$\begin{eqnarray*} \int_A \sin(\theta)d\theta d\varphi=\int_0^{2\pi} d\varphi \int_0^{\pi}d\theta\left ( \sin \theta \right )=4\pi \end{eqnarray*}$

Das ist einmal ein glatter Widerspruch. Irgendeine Erklärung dafür?

Das ganze hat mich fasziniert, sodass ich das Vektorfeld in kartesischen Koordinaten berechnet habe und nach langer Einsetzerei kommt schließlich:
$\begin{eqnarray*} \vec{v}=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}\left ( x\vec{e}_x + y\vec{e}_y + z \vec{e}_z\right ) \end{eqnarray*}$

Danach wieder die Divergenz gebildet habe:
$\begin{eqnarray*} \nabla \cdot \vec{v}=\frac{1}{x^2+y^2+z^2} \end{eqnarray*}$

Und dann die linke Seite des Gaußschen Satzes wieder berechnet habe und zwar integriert um einen Würfel der um den Ursprung liegt:
$\begin{eqnarray*} \int_V \nabla \cdot \vec{v}\;dV=\int_{-1}^1 dx \int_{-1}^1 dy \int_{-1}^1 dz \left ( \frac{1}{x^2+y^2+z^2} \right )=15.348 \end{eqnarray*}$

Jetzt die rechte Seite noch prüfen für den Gaußschen Satz idem ich alle 6 Flächen des Würfels nach außen orientiere und einzeln aufintegriere und am Ende summiere und siehe da:
$\begin{eqnarray*} \int_A \vec{v} \cdot d\vec{A}=15.348 \end{eqnarray*}$

Tatsächlich stimmt die Summe. Aber wieso funktioniert es in kartesischen Koordinaten schon und bei Kugelkoordinaten nicht?
-------------------------------------------------------------------
So! Große verschnaufpause!
Und jetzt kommt der größte Witz überhaupt: Wenn ich mit das Oberflächen-Integral welches 4Pi ergibt anschaue, dann ist leicht zu erkennen, dass es nicht vom Radius abhängt. Das bedeutet aber, dass egal wie weit weg ich mich befinde immer 4pi rauskommt. Jedoch wenn ich alles in kartesischen Koordinaten umrechne besteht sehr wohl eine ABhängigkeit von r. SOmit ist es bei kartesischen Koordinaten nicht egal wie weit weg ich bin. Jedes mal kommt ein anderes Ergebnis raus.

Wie kann ich mir diese seltsamen Unterschiede der unterschiedlichen Koordinaten erklären? Denn fest steht: Bei Kugelkoordinaten kann ich mich auch im unendlichen begeben also r = unendlich und es kommt immer noch 4 pi raus, was auch sinn macht. Aber Bei kartesischen Koordinaten wirds bei größerem Absatand anders...

25.07.2014, 21:47

Kugelgnom

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, die Divergence von dem Feld kann nicht 0 sein. Die Formel für die Divergence in Kugelkoordinaten ist:
$\begin{eqnarray*} \nabla \cdot A = \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial (r^{2}A_{r})}{\partial r} + \frac{1}{r sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}(sin \theta A_{\theta})+ \frac{1}{r sin \theta} \frac{\partial A_{\phi}}{\partial \phi} \end{eqnarray*}$

25.07.2014, 21:52

Kugelgnom

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sieht überhaupt die Aufgabenstellung aus?

Gruß

25.07.2014, 22:02

Manko

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Divergenz ist definitiv 0.
Setze ein und du erhältst für die linke Seite folgendes:
$\begin{eqnarray*} \nabla \cdot \vec{v}=\frac{1}{r^2}\partial_r\left ( r^2\frac{1}{r^2} \right )=0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Wie sieht überhaupt die Aufgabenstellung aus?

Den Gaußschen Satz für das Vektorfeld e_r/r^2 zu prüfen.
Es steht aber schon ohne Zweifel fest, dass dies ohne weiteres nicht möglich ist. Und ich weiß auch schon den Grund. Denn nehme einmal an, dass r = 0 ist. Dann ist die DIvergenz schlicht nicht definiert an dieser Stelle und du würdest sie aber auswerten als 0. Jedoch ist 0/unendlich nicht definiert und hebt sich eventuell in einem Integral auf. Dies ist aber unmöglich feststellbar mit allein der Divergenz. Somit muss man einbisschen nachschleifen (siehe mein neuer Beitrag Delta funktion..)

25.07.2014, 22:05

Kugelgnom

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja ausser im Ursprung Augenzwinkern

Da ist die Divergenz eben nicht Null. Ich guck mal in deinen neuen Thread^^

Neue Frage »

Antworten »

Die Kugelkoordinaten spinnen einbisschen beim Gaußschen Satz

Verwandte Themen